지은이․나숙자

그린이․신상희

펴낸곳․도서출판 부키

펴낸날․2007년 8월 28일

판형․신국판

쪽수․248쪽

각 권․9,800원

ISBN․978-89-6051-014-2 44410

ISBN․978-89-85989-89-3 (세트)

전화․02 325 0846

팩스․02 3141 4066

홈페이지․www.bookie.co.kr

부키 신간 보도자료

친절한 수학 교과서 3권 완간!

친절한 도형 교과서 3권 9월 출간 예정

수학을 잘하고 싶은 중딩들을 위한

③ 통계와 확률

세상에서 가장 운 좋은…

로또 복권에 당첨될 확률 보다

날벼락을 맞을 확률 보다

네 쌍둥이가 태어날 확률 보다

세상에서 가장 운이 좋은 건 바로 나다.

비행기가 추락할 확률 보다

세븐 포커의 ‘로얄 스트레이트 플러시’가 터질 확률 보다

모르는 10문제를 찍어서 맞힐 확률 보다

골프에서 홀인원이 나올 확률 보다

세상에서 가장 운이 좋은 건 바로 나다.

내가 수많은 정자들과 경쟁해 세상 밖으로 나올 수 있었던

의 확률!

이게 바로 그 무엇과도 비교가 안 되는,

나의 탄생을 가능케 한 확률이다.

이 책은  23년간 중학교 수학 교사로 재직하면서 수많은 학생들이 수학에 대한 공포에서 벗어날 수 있도록 이끌어 준 어느 친절한 수학 교사의 수업 시간을 그대로 옮겨 놓은 책이다. 아이들 눈높이에 맞춰 친근감 넘치는 대화를 통해 수학의 원리와 기초 개념에 대해 설명하는 과정에서 수학과 관련된 역사적 에피소드나 실제 생활 속에서 흔히 겪을 수 있는 생생한 사례를 함께 제시함으로써 아이들이 수학에 대해 갖고 있는 ‘재미없고 따분한 과목’이라는 거부감을 없애주는 것은 물론, 수학이 무엇을 하는 학문이고 얼마나 유용한지 바로 ‘감’이 오게끔 해 준다. 필자의 지론은 ‘아이들이 수학을 못하는 게 아니라 안 하는 것’이라는데, 수학적 원리나 개념을 시로, 그림으로, 만화로, 이야기로 표현한 아이들의 작품을 모은 ‘수학 요리 콘테스트’를 보면 그 말에 절로 고개가 끄덕여진다.

‘[eqn: {1} over {2} + {1} over {3} = {1} over {5}]’이라고 우기던 아이, 수학 선생이 되다!

한 아이가 있었다. 그 아이는 초등학교 때 구구단을 외우지 못해 학교에 남아야 했다. 다 외울 때까지 집에 가지 말라는 선생님의 엄한 말씀 때문이었다. 그렇게 시작된 수학의 가시밭길은 좀체 끝나지 않았다. 분수셈을 배울 때는 ‘[eqn: {1} over {2} + {1} over {3} = {1} over {5}]’이라고 부득부득 우기다 혼쭐이 나야 했고, 중학교에 올라가 미지수 [eqn: x]에 대해 배울 때는 굳이 미지수 [eqn: x]를 쓸 필요가 있느냐, 미지수를 써야 한다면 그 많은 알파벳 중에서 왜 꼭 [eqn: x]를 써야 하는지 때문에 고민해야 했다. 하지만 그 아이는 결국 수학이라는 가시밭길을 극복해 냈다. 무수한 문제를 열심히 풀고 또 푸는 반복학습을 통해서였다. 반복학습을 통해 나름대로 수학에 자신감을 갖게 된 그 아이는 이제 암기를 강요하는 그 어떤 과목보다도 수학을 더 좋아하게 되었다. 대학에 들어갈 때 주저 없이 사범대 수학교육과를 선택했다. 그리고 수학 교사가 되었다. 하지만 수학 교사가 된 아이는 자신의 어린 시절 경험을 잊어버렸다. 그가 얻은 자신감은 수학의 기초 개념을 통해 원리를 이해해서가 아니라 문제풀이의 반복을 통해 얻은 것임을 그때까지도 제대로 인식하지 못한 것이다.

추천사 1 이제 우리 아이도 아름다운 수학 세상을 즐긴다!

그동안 선생님께 직접 배우는 학생들만 ‘수학 요정 꼼지’의 도움을 받아 아름다운 수학 세상에 다다를 수 있었는데 이제 『친절한 수학 교과서』가 세상에 나와 더욱 많은 사람들이 그 기쁨을 누리게 되었으니 반갑기 그지없다. 우선 나부터 곧 중학생이 되는 딸아이에게 이 책을 선물해야겠다. 아니다. 내가 이 책을 옆에 끼고 여러 가지 질문을 던져 봐야겠다. “아기 토끼 한 쌍은 1년 뒤에 몇 쌍의 토끼가 될까?” “0.9999……와 1은 어느 것이 클까?” 아아, 생각만 해도 신이 난다.  - 강석진(서울대 수학과 교수)

추천사 2 소설 읽듯이 술술 … 손에서 놓을 수가 없다!

나숙자 선생님 밑에서 수학을 배운 학생들은 어느 순간 자신도 모르게 수학 실력이 껑충 늘고 자신감을 갖게 되면서 더 이상 수학을 두려워하지 않고 재미있는 과목으로 인식하게 된다. 『친절한 수학 교과서』는 나숙자 선생님의 이런 수업 현장을 그대로 책으로 옮겨 놓았다. 처음 이 책을 손에 잡으면 소설을 읽듯이 술술 잘 읽혀진다. 그만큼 재미있어서 손에서 책을 놓을 수가 없다. 그러면서도 이 책은 수학을 못하는 학생에게는 수학의 기초 개념에 대해 차근차근 개인지도를 해 주고, 수학을 잘하는 학생에게는 수학의 깊은 세계를 경이롭게 느끼게 만든다.  - 김승희(방원중학교 수학 교사)

추천사 3 수학에 상처 받은 아이들을 향한 따뜻한 배려

『친절한 수학 교과서』를 읽었을 때 선생님의 수학에 대한 사랑도 아름다우시지만 그보다는 수학에 상처 받았거나 수학을 잘하고 싶어하는 아이들에 대한 따뜻한 이해와 배려, 그리고 사랑에 깊은 감동을 받았습니다. 『친절한 수학 교과서』는 어머니의 마음과 손길처럼 따사롭습니다. 수학에 자신이 없거나 수학을 잘하고 싶어하는 아이들의 두 손을 꼭 잡고는 마치 돌 무렵의 아가들에게 걸음마를 가르치듯 정성스럽게, 그래서 조금도 무서워하지 않으면서 한 걸음 한 걸음 수학적 원리와 개념 이해의 세계로 나아가게 하는 과정에서 격려와 칭찬을 통해 용기를 북돋워 주기 때문입니다.  - 이수연(학부모)

수학 선생, 드디어 문제풀이의 덫에서 벗어나다!

결국 초보 수학 교사의 수업 시간은 끝없는 문제풀이의 반복이 될 수밖에 없었다. 물론 그 과정에서 아이들이 조금이라도 수학을 더 잘할 수 있도록, 좀 더 수학을 좋아할 수 있도록 여러 가지 노력을 기울였다. 문제를 유형화해 주고, 수학 공식이 머릿속에 새겨지도록 끝없이 반복해서 알려 주고, 조금이라도 수학 성적이 나아지는 기미가 보이면 칭찬과 격려를 아끼지 않았다.

하지만 그 같은 노력에도 불구하고 아이들은 크게 달라지는 것이 없었다. 수학 성적이 그다지 오르지 않는 것은 물론, 수학을 싫어하는 것도 마찬가지였다. 초보 수학 교사는 다시 고민하기 시작했다. 처음에는 아이들 교육 여건이 나빠서 그런 것은 아닐까, 부모들의 협조가 부족해서 그런 것은 아닐까 하는 정도였지만 나중에는 자신이 수학 교사로서 자질이 없는 것은 아닐까 하는 자괴감까지도 느끼게 되었다.

그렇게 지내던 어느 날, 초보 수학 교사는 뜻밖의 사실을 발견했다. 아이들이 수학에 대해 너무나 무지하다는 것이었다. 그것은 수학을 잘하는 아이나 못하는 아이나 마찬가지였다. 아이들은 중학생답게 도수의 합이 중앙값이라는 것은 너무나 잘 알지만 도수의 합이 홀수일 경우는 [eqn: {n+1} over {2}]이 중앙값이고, 짝수일 경우는 [eqn: {n} over {2}]번째와 [eqn: {n+2} over {2}]번째 값의 평균을 구하면 된다는 사실은 모르고 있었다. 때문에 자료의 수가 (홀수)번째로 끝날 때와 (짝수)번째로 끝날 때를 구분하여 계산하지 못하곤 했다.

아이들, 확률과 통계를 실생활에 적용하다!

초보 수학 교사는 그제야 자신의 어린 시절 경험을 기억하게 되었다. 그도 자신이 가르치는 아이들과 마찬가지였음을, 그가 가졌던 수학에 대한 자신감이 사실은 문제풀이 능력에서 비롯된 것이었음을 깨닫게 된 것이다. 이후 초보 수학 교사의 수업 방식은 180도 바뀌어 문제풀이보다는 수학에 대한 무지를 깨는 것에, 즉 수학적 원리나 개념을 이해시키는 데 집중하기 시작한다.

하지만 도대체 어떻게 해야 추상적인 수학적 개념이나 원리를 아이들 머릿속에 ‘쏙’ 집어넣을 수 있단 말인가? 그때부터 초보 수학 교사의 고민은 새롭게 시작되었고, 그 과정에서 무수한 방법이 동원되었다. 경우의 수와 확률의 차이를 알려 주는 것은 쉬웠다. 문제는 아이들이 그 차이의 필요성을 인정하고 받아들이게 하는 것이었다.

그러기 위해 초보 수학 교사는 고심을 거듭하다가 확률이 없는 세상이 어떻게 될지를 아이들과 함께 점검해 보았다. 기상 상태, 물가 동향, 주가 동향, 선거 결과, 야구 선수의 방어율, 농구 선수의 자유투 성공률 등의 예를 들며 아이들은 자기들 나름대로 확률이 없으면 세상이 어떻게 될지 시나리오를 쏟아놓았다. 아이들이 비로소 수학 수업에 적극적으로 참여하기 시작한 것이다!

이렇게 시작된 아이들의 수업 참여는 갈수록 수준이 높아졌다. 아이들은 청소년 흡연 문제나 컴퓨터 게임 중독 문제를 통계적으로 접근하고 자료를 조사하여 흡연량과 건강, 컴퓨터 게임 시간과 성적, 감성 지수와 교우 관계, 키와 몸무게, 광고 횟수와 상품 판매량 등의 관계를 도수분포표와 히스토그램으로 나타내고 그 상관관계를 따졌다. 또 윷놀이에서 도가 나올 경우의 수, 개가 나올 경우의 수, 걸이 나올 경우의 수, 윷이 나올 경우의 수, 모가 나올 경우의 수 등을 구하여 이기고 질 확률을 계산해 내는 등 생활과 수학을 연결 지으며 수학의 재미를 찾아나갔다.

이제 초보 교사의 딱지를 뗀 왕년의 수학 열등생은 아이들의 이런 기막힌 발상과 그에 따라 탄생하는 작품들을 보면서 감탄을 하다가 ‘수학 요리’라는 멋진 이름을 붙여 주었다. 그리고 혼자만 보기 아까워 아이들과 함께 『수학 신문』을 만들기 시작했다. ‘수학 요정! 수업 시간에 놓쳤어요’나 ‘꼼지샘 재밌는 얘기 해 주세요’ ‘엄마와 함께하는 수학’ ‘호주머니를 불리는 수학’ 등의 타이틀 아래 수업 시간에 미처 다하지 못한 이야기도 해 주고, 동시에 ‘수학 요리 콘테스트’라는 이름 아래 아이들의 수학과 관련된 멋진 시나 만화, 그림, 글을 소개하기 위해서였다.

그리고 그 결과물들은 이제 『친절한 수학 교과서』 1, 2권에 이어 3권을 탄생시켰다. 『친절한 수학 교과서』 3권은 전 권에 이어 수학의 기초 원리와 개념을 잡아 주는 친절한 수학 책이다.

지은이 나숙자  전남대 사범대 수학교육과를 나와 1982년부터 지금까지 수학 교사로 활동해 왔고, 수학 교사로 정년을 맞고 싶다는 천생의 수학 교사. 초등학교 시절 ‘[eqn: {1} over {2} + {1} over {3} = {1} over {5}]’이라고 부득부득 우기는가 하면, 구구단을 외우지 못해 학교에 남아 있어야 하는 슬픈(?) 경험을 갖고 있는 그의 지론은 ‘수학은 못하는 게 아니라 안 하는 것’이라는 것. 그는 아이들과 함께 『수학 신문』을 만드는가 하면, 수학 시를 써 보게 하는 등 아이들이 수학에 흥미를 가질 수 있는 것이라면 거의 모든 방법을 동원하다시피 하고, 그 결과 그에게 수학을 배운 아이들은 어느 순간 수학을 무서워하지 않게 되는 놀라운 경험을 한다. 이화여대 교육대학원에서 석사 학위를 받았으며, 현재 강신중학교에서 아이들을 가르치고 있다. 홈페이지 주소는 http://comzi.x-y.net.

그린이 신상희  예술 없이는 살 수 없다고 생각하는 이제 스물두 살의 대학생. 두 눈이 있고 오른손이 있어 그림이나 글로 자신 안의 무언가를 표현할 수 있다는 사실을 가장 큰 축복으로 생각할 정도로 그림 그리기와 글쓰기를 좋아하는데다, 지은이의 막내딸이라는 특수 관계까지 겹쳐 이 책의 그림 작업을 도맡아 하게 되었다. 완벽주의자적 본성을 못 버려 이 책의 그림을 그리느라 여름방학을 일에 파묻혀 지낸 비운의 주인공.

이 책을 두 배로 활용하려면…  “수학을 배워 쓸모가 있나요?” “더하기, 빼기, 곱하기, 나누기만 할 줄 알면 되지 않나요?” 초등학교 고학년이 지나 중학생이 되면 아이들은 수학에 대해 점점 원초적이고 본질적인 불만을 갖게 된다.

“나는 왜 수학이 싫죠?” “수학을 잘하는 아이들은 나하고 뭐가 다른가요?”

듣기에 따라서는 부모들에게 유전적 책임을 묻는 것처럼 느껴져 민망한 기분이 들기도 한다. 하지만 아이들의 이런 심정은 충분히 이해할 수 있다. 사실 우리나라 중학생들의 수학 실력은 세계 톱클래스에 속한다. 국제교육성취도평가협회(IEA)는 46개 회원국의 만 13세 학생을 대상으로 수학과 과학의 학업 성취도를 평가해 ‘수학·과학 성취도 추이변화 국제비교(TIMSS)’를 발표하는데, 우리나라 중학생들의 수학 성취도는 1995년 3위, 1999년 2위에 이어 2003년에도 2위를 차지했다.

결국 우리 아이들은 세계 최정상급의 실력자들 속에서 견뎌내느라 어마어마한 스트레스를 받고 있는 셈이다. 그런 반작용일까. 아이들의 수학에 대한 시선은 그리 곱지 않다. 수도권 초등학생들을 대상으로 한 조사에서 수학은 44.7%가 중요한 과목이라고 인정하면서도 정작 14%만이 가장 재미있는 과목으로 꼽았을 뿐이다. 또 TIMSS 조사에서 수학 성취도는 2위였지만, ‘과학 관련 과목이 즐겁다’는 항목에는 단지 9%만이 ‘그렇다’고 답해 국제 평균을 훨씬 밑돌 정도였다.

물론 그런 사정은 다른 나라도 마찬가지다. 2005년 AOL과 AP통신이 미국의 성인 남녀 1000명을 상대로 조사한 결과에 따르면 응답자의 37%가 수학을 가장 싫어하는 것으로 나타났다. 너무나 계산적이고 냉철함을 요구하는 분야여서 여백의 미를 찾을 수 없다는 이유에서였다.

이 책은 수학 과목에 대한 이런 태도를 바꾸는 데 크게 도움이 된다. 이 책의 목적이 수학적 원리와 기초 개념을 확고하게 다짐으로써 수학의 즐거움을 맛보게 하자는 데에 있기 때문이다. 그 과정에서 아이 혼자 이 책을 읽게 하는 것보다는 부모가 아이와 함께 읽고 대화하는 편이 훨씬 유용하다. 실제 수업에서도 그런 식으로 진행되었다. 또 각 파트마다 실려 있는 ‘수학 요리 콘테스트’를 아이와 함께 먼저 읽고 그 기발함을 감상함으로써 아이들에게 선의의 경쟁심을 불러일으키는 것도 유용할 것이다.

차례

아름다운 수학 세상으로 함께 길을 떠날 친구들  7

수학 요정과 함께 아름다운 수학 세상으로 떠나요!  8

아름다운 수학 세상으로 여행을 떠나는 아이들에게  10

PART 1

통계 1 _ 자료의 정리와 관찰  15

1  미래를 예측할 수 있는 통계의 세계로!  17

2  자료의 대표값을 만나다!  39

3  그래프만 보면 한눈에 분석할 수 있어요!  55

4  상대도수와 누적도수는 어디에 필요할까?  69

5  그래프에도 함정이 있다니… 85

수학 요리 콘테스트 95 / 이 정도 문제쯤이야! 99

PART 2

통계 2 _ 상관관계  105

1  상관관계와 상관도를 알면…  107

2  상관관계에도 여러 가지가 있대요!  117

3  상관표를 만들면 뭐가 좋을까?  123

수학 요리 콘테스트 132 / 이 정도 문제쯤이야! 141

PART 3

확률  145

1  수학 요정, 확률이 뭐예요?  147

2  경우의 수에서 확률이 태어나다!  151

3  확률에도 성질이 있대요!  173

4  확률 계산에서 주의해야 할 것들  197

5  확률의 오묘함을 아니?  215

수학 요리 콘테스트 234 / 이 정도 문제쯤이야! 239

아름다운 수학 세상을 향한 여행을 마치며  243

‘이 정도 문제쯤이야!’ 풀이와 정답  244

찾아보기  248

본문 맛보기

삐양 엄마는 중학교 때 수학 성적이 전체 인원 120명 중에서 8등이었고, 삐양의 수학 성적은 전체 인원 615명 중에서 40등이었어. 그런데 누가 더 잘했는지를 따져 보면, 삐양이 삐양 엄마보다 수학을 더 잘했다는 결론이 나오는 거야. 왜 그럴까? 그 이유는 전체 도수가 다른 두 자료를 비교할 때 사용하는 상대도수를 이해하면 바로 알게 된단다.

‘상대도수’란 전체 도수에 대한 각 계급의 도수의 비율을 가리키는 거야. 즉, (상대도수)=인 거지. 어떠니? 전체 도수가 중요한 변수로 작용하고 있지? 다시 말해 삐양 엄마의 등수 8등이 과연 잘한 것인지 아닌지를 평가하는 데는 전체 인원 ‘몇 명 중에서’가 중요한 변수라는 얘기야. 설마 그럴 리야 없겠지만, 8명 중에서 8등이라면 이야기가 어떻게 되지? 꼴찌라는 얘기가 되잖니? 그래서 등수를 말할 때는 반드시 전체 인원을 밝혀야 되는 거란다.

그러면 이제 계산을 한번 해 보자. 삐양 엄마는 전체 인원 120명 중에서 8등이고 삐양은 전체 인원 615명 중에서 40등이니까, 삐양 엄마의 등수의 상대도수는 이 되고, 삐양의 등수의 상대도수는 가 되지? 결국 100명을 기준으로 생각하면 삐양 엄마는 6.7등, 삐양은 6.5등이 되는 거야. 어때, 삐양이 삐양 엄마보다 수학을 쪼매 더 잘했다는 결론을 얻을 수 있지?

(본문 71-72쪽 중에서)

통계의 친구들

통계의 친구들

너랑 나랑 서로 더해서 2로 나눠 ‘평균’

친구들 모두 모여 머릿수 세면 ‘도수’

한눈에 알아보고 싶다면? ‘히스토그램’

누가 누가 잘하나? ‘상대도수’

순서를 정할 때는? ‘누적도수’

나도 같이 클래! ‘양의 상관관계’

나는야 청개구리! ‘음의 상관관계’

나는, 나는 아름다운 수학 세상을 향해 떠나는

수학 요정의 제자

(본문 133쪽 중에서)

자~, 까만개의 수학 성적이 5등이라면 과연 까만개는 수학을 잘한다고 말할 수 있겠니?

“까만개의 수학 성적 5등은 전체 인원을 모르는 상황에서는 잘한 건지, 아니면 못한 건지 말할 수가 없어요. 만약 전체 인원이 5명이라면 5등은 꼴찌이지만, 전체 인원이 1000명이라면 1000명 중에서 5등이니 아주 잘한 거니까요.”

그렇지. 우리 삐양, 상대도수의 의미를 확실하게 알고 있구나. 바로 그래서 무턱대고 5등이라고 하면 절대로 ‘잘한다.’ 혹은 ‘못한다.’ 하고 결론을 내릴 수 없는 거란다. 어떤 계급의 (상대도수)=니까 말이야. 확률은 이런 상대도수의 특별한 경우인데 말이야….

한 가지 예를 들어 보자. 동전을 던질 때 앞면이 나오는 경우의 상대도수는 이지? 그런데 이 상대도수에서는 던진 횟수가 얼마냐 하는 것이 대단히 중요한 역할을 한단다. ‘전체 인원 몇 명 중에서 5등이냐?’ 하는 경우와 마찬가지로 말이야.

하지만 그보다 더 중요한 건 동전이나 주사위를 던질 때 던진 횟수가 많아지면 많아질수록 상대도수는 일정한 값에 가까워진다는 사실이야. 아래 표를 한번 보렴.

어때, 동전을 던진 횟수가 많아지면 많아질수록 상대도수는 에 가까워지고 있지? 이렇게 해서 얻은 일정한 값 이 바로 동전을 던질 때 앞면이 나올 가능성, 즉 확률이란다. 다시 말해 실험이나 관찰을 수없이 되풀이하여 전체 도수가 아주 큰 경우 상대도수는 일정한 값에 가까워지는데, 그때의 일정한 값을 확률이라고 생각하면 되는 거야. 그리고 이때의 확률은 ‘수학적 확률’이라는 이름을 달게 되고.

그러면 결론이 어떻게 되겠니? 확률은 상대도수의 특별한 경우라는 거야!

(본문 167-168쪽 중에서)

“삐양아~, 오늘 저녁 설거지는 우리 가족 모두 가위바위보를 해서 진 사람이 하면 어떻겠니?”

“좋아요. 대신 가위바위보 게임을 즐기기 위해 리그전으로 하면 어떨까요? 한순간에 끝나 버리면 좀 서운하잖아요.”

“그러자꾸나. 그럼 대진표를 한번 짜 보렴.”

“우리 식구는 엄마, 아빠, 나, 삐군이니까 대진 방법은 (엄마, 아빠), (엄마, 삐양), (엄마, 삐군), (아빠, 삐양), (아빠, 삐군), (삐양, 삐군)으로 모두 6가지예요. 자~, 엄마, 아빠 먼저 시작하세요.”

“엄마 이겨라, 엄마 이겨라.” 하고 삐군이 열심히 응원한 덕분인지 엄마가 이겼다. 이번에는 엄마와 삐양의 차례. 그런데 삐군의 한결같은 응원 덕분인지 또다시 엄마 승~!

“삐군아~, 너는 해 보나마나 엄마가 이길 거다. 가위바위보는 역시 엄마가 짱이야.”

엄마의 자신만만한 말에 삐양 왈~.

“엄마, 그런 말씀 마세요. 그건 확률에 대해 전혀 모르고 하시는 말씀이에요.”

“그게 무슨 소리니?”

“확률의 기억력은 0이거든요. 그러니까 엄마가 가위바위보를 열 번 해서 열 번을 다 이겼다 하더라도, 다음번에 또 이길 확률은 여전히 이에요. 이기거나 비기거나 질 경우, 즉 3가지 중 1가지이기 때문이죠.”

“그러니? 그러면 삐군과 엄마가 가위바위보를 할 때 삐군이 이길 확률과 엄마가 이길 확률은 각각 로 똑같다는 얘기가 되겠네?”

“그렇죠.”

“엄마는 벌써 두 번씩이나 이겼으니까 당연히 엄마가 유리할 줄 알았는데…, 괜히 우쭐했구나.”

(본문 210쪽 중에서)