지은이․나숙자

그린이․신상희

펴낸곳․도서출판 부키

펴낸날․2007년 9월 28일

판형․신국판

쪽수․1권 272쪽, 2권 252쪽,

3권 280쪽

각 권․11,000원

ISBN․978-89-6051-015-9 (세트)

ISBN․978-89-6051-016-6 44410

ISBN․978-89-6051-017-3 44410

ISBN․978-89-6051-018-0 44410

전화․02 325 0846

팩스․02 3141 4066

홈페이지․www.bookie.co.kr

부키 신간 보도자료

수학에서 ‘통합 논술’의 기초까지

① 도형의 기초

② 도형의 성질과 닮음

③ 피타고라스와 원

대수와 기하의 만남

수학은 자연계의 패턴을 연구하는 학문입니다.

기하학은 모양(도형)에 관한 패턴 연구이고요

대수학은 구조, 관계, 양에 관한 패턴 연구이지요.

기하와 대수는 나름대로 색깔이 있습니다.

도형을 연구하는 것이 기하

x와 y 사이의 관계를 연구하는 것이 대수

그러나 그들은 둘 다 자연계의 패턴을 연구하기 위해 태어났습니다.

시간이 흐르고 흘러 17세기에 데카르트가 나타나더니

기하학과 대수학의 만남의 자리를 마련했습니다.

거기서 해석기하학이 태어납니다.

그렇다고 기하학이 대수학이 되는 것은 아닙니다.

다만 기하학이 모양에 관한 패턴을 연구하는 과정에서

대수학이라는 도구를 이용할 뿐이지요.

여전히 기하학은 모양에 관한 패턴을 연구 중입니다.

수학은 현실 생활과 먼 것처럼 보이지만

인간이 자연과 함께 살아가는 한 우리 생활 속에는

수학의 개념이 녹아 있음을 잊어서는 안 됩니다.

이것이 바로 우리가 수학을 사랑해야 하는 이유이기도 합니다.

이 책은	설명이 과외 교사보다 자세한데다 유머러스하기까지 해서 수학의 개념을 쉽게 잡을 수 있게끔 해 준다고 정평이 난 『친절한 수학 교과서』의 ‘도형’ 편. 이 책만 있으면 바쁜 선생님 붙잡고 늘어지지 않아도, 상위 20%를 향해 강의를 진행하는 학원 선생님을 원망하지 않아도 도형을 깨쳐나갈 수 있다. 게다가 단순한 도형 문제의 풀이가 아닌, 기하학적 기초를 다지는 데 중점을 두고 있어 ‘통합 논술’의 기초인 논리적 사고가 다져지는 효과까지 거둘 수 있다.

도형은 원래가 어렵고도 어렵다!

“저는 수학을 잘하는데, 도형은 왜 안 되죠?”

수학을 좋아한다는 중학생마저도 이렇게 묻곤 합니다. 아직 어린 중학생들에게 수학의 ‘도형’ 편은 그만큼 어렵기만 합니다. 설령 어른이라 해도 사정은 달라지지 않습니다. 도형은 원래가 어렵고도 어려운 분야이기 때문입니다.

중학교 과정에서 배우는 도형은 정확히 말해 ‘평면기하’에 해당됩니다. 기원전 3세기경 유클리드가 정리한 탓에 흔히 ‘유클리드 기하학’이라고 불리는, 평면상에서 도형의 여러 가지 성질을 연구하는 학문인 거죠. 사전적 정의에 따르면 평면기하는 ‘토지 측량을 위해 도형을 연구하는 데서 기원했으며, 공간의 수리적(數理的) 성질을 연구하는 수학의 한 분야’인 기하학geometry의 일부입니다. 그리고 이 기하학은 탈레스, 피타고라스, 유클리드에 의해 이미 기원전에 평면기하가 확립된 이래 근대의 데카르트, 오일러, 뉴턴, 라이프니츠, 로바체프스키, 리만 등에 의해 해석기하, 미분기하, 사영기하, 비(非)유클리드 기하, 위상기하로 발전해 가면서 수학뿐만 아니라 자연과학 전반에 걸쳐 큰 기여를 했습니다.

결국 평면기하, 즉 도형은 기하학의 기초, 그러니까 해석기하나 미분기하 같은 고급 기하로 넘어가기 위한 준비 단계에 해당하는 셈이죠.

추상적 사고에 논리적 사고까지!

이렇게 설명하면 이 도형이라는 게 그다지 어려워 보이지 않습니다. 하지만 유감스럽게도 도형은 구조적으로 잘하기가 어렵게 되어 있습니다.

우선 도형은 추상적 사고뿐만 아니라 논리적 사고까지 요구합니다. 가령 맞꼭지각[對頂角] 정리의 경우를 보죠. 이걸 문장으로 풀어 말하면 ‘한 점 O에서 만나는 두 직선에 의해 만들어지는 4개의 각 중에서 꼭지점과 2개의 변을 공유하며 서로 마주 보고 있는 각인 맞꼭지각은 서로 같다.’가 됩니다. 이 중 ‘한 점 O에서 만나는 두 직선에 의해 만들어지는 4개의 각 중에서 꼭지점과 2개의 변을 공유하며 서로 마주 보고 있는 각’은 맞꼭지각의 정의(definition), 즉 뜻에 해당합니다. 그리고 ‘맞꼭지각은 서로 같다’는 참이라고 증명된 명제 중에서도 기본이 되는 정리(theorem)에 해당합니다.

이것을 어떻게 증명해야 할까요? 그것도 단지 점은 위치만 있을 뿐 면적이 없다느니, 선은 길이만 있을 뿐 너비가 없다느니, 한 직선 밖의 한 점에서 이 점을 지나 주어진 직선과 만나지 않는 직선을 무수히 많이 그을 수 있다느니 하는 몇 개의 공리(axiom)만을 가지고서 말입니다.

결국 중학교에서 도형이란 증명하지 않고도 참이라고 인정하는 공리 몇 개와 용어의 뜻 몇십 개를 가지고 (중학교 과정에서만) 100여 개가 넘는 정리를 증명해 내고, 그 정리를 이용해 주어진 문제를 풀어야 하는 겁니다. 과연 이게 열서너 살짜리 아이들에게 쉬운 일일까요? 어른들이라면 쉽게 해낼 수 있는 일일까요?

도대체 누구에게 물어봐야 하지?

문제는 수업 시간마저 부족하다는 겁니다. 도형의 경우 2학기 수학 수업 중에서도 일부밖에는 수업을 할애할 수가 없습니다. 확률이니 통계니 하는 것들도 가르쳐야 하니까요.

뭐, 그래도 한 100개 좀 넘게 정리를 증명하면 끝 아니냐고요? 문제는 그 각각의 정리를 증명하기 위해서는 다른 정리를 필요로 하는 경우가 허다하다는 겁니다. 결국 증명 자체는 100개가 좀 넘을지 몰라도 그것을 증명하기 위해서는 앞의 증명을 반복하지 않으면 안 되는 경우가 허다한 만큼 증명을 적어도 몇백 개쯤은 해야 한다는 거죠.

게다가 그 과정에서 이제 열서너 살짜리 아이들에게 ‘증명 없이 참으로 인정하는 명제’로서 ‘기하학이 성립하기 위한 전제’에 해당하는 공리라는 희한한 놈을 가르쳐야 합니다. 그것도 왜 점이 위치만 있을 수밖에 없는지, 직선에서는 너비가 있어서는 안 되는지를 납득시켜 가면서 말입니다.

물론 문제 풀이도 해 줘야 합니다. ‘자, 이 정리에 의하면 이렇지? 그 상태에서 저 정리를 이용하면 이렇게 되고…’ 해 가면서요.

사정이 이렇다 보니 선생님들도 자상하게 설명해 주기 어렵습니다. 하나 제대로 걸리면 한 30분 설명해야 하는데, 그게 쉽지 않으니까요. 예? 참고서 좋은 걸로 보면 되지 않느냐고요? 한번 찾아보십쇼. 의외로 도형에 관해 친절하게 설명한 참고서는 보기 어렵습니다. 예쁘고 단정하게 정리된 참고서는 많지만…. 그렇다고 부모님이 도와줄 수도 없습니다. 부모님이 이공계 교수나 연구원이 아닌 이상 대개는 도형이 머릿속에서 싸악～! 지워졌기 때문입니다.

도형을 공부하면 생각하는 법이 저절로!

도형의 경우 아예 손을 놓아버리는 아이들이 적지 않은 것도 그래서입니다. 그래도 별달리 문제될 것이 없어 보입니다. 도형 문제가 수학 전체에서 차지하는 비중은 대체로 1/3 이하이니 그만큼의 점수만 포기하면 되니까요. 하지만 대학에 가면 사정이 달라집니다. 경험자들이 그렇게 말하더군요.

중고등학교 시절 기하, 즉 도형은 요즘 아이들 하는 말로 하자면 ‘비추’였다. 집합, 방정식, 부등식, 함수, 수열, 극한, 미분, 적분, 확률, 통계 등은 실생활에서도 유용할 듯했다. 하지만 삼각형 내각의 크기 합이 180도라는 사실을 도대체 어디에 써먹는단 말인가.

학습의 연속성이라는 측면에서도 기하는 문제였다. 기하는 수학의 다른 부분과는 달리 고등학교 수학으로 이어지지 않았기 때문이다.

이 모든 생각이 오해라는 것을 대학에 들어간 이후에야 알 수 있었다. 대학교와 대학원에서 해석기하학이니, 미분기하학이니, 위상기하학이니, 아피 기하학이니, 뫼비우스 기하학이니 하는 별의별 희한한 기하학을 접하게 되고, 이런 것들이 실제 공학 부문에서 대단히 유용하다는 것을 새삼 절감한 덕분이다.

_ 박종백(지멘스 연구소장, 전기컴퓨터공학 박사)

이공계나 그런 것 아니냐고요? 글쎄요…. 요즈음에는 사회과학 전공자들도 수학 스트레스에 시달린다고 합니다. 사회과학이 점점 수학적으로 모델화되어 가면서 자칫 수학을 모르면 뒤처질 가능성이 높아진 탓이겠죠.

게다가 보다 중요한 건, 도형을 건너뜀으로써 두뇌 훈련에서 중요한 한 가지를 빼먹게 된다는 겁니다. 그게 뭐냐고요? 그에 대해서는 아무래도 경험자의 입을 빌리는 것이 나을 것 같군요.

요즘은 ‘논리’라는 말이 비논리적일 정도로 너무 많이 쓰이지만, 내가 초등학교와 중학교를 다닐 때는 학교와 집, 그리고 책과 TV에서 이 단어를 들은 적이 없다. 그렇다면 내 또래는 논리적이지 않았을까?

절대로 그렇지 않다고 단언한다. 단지 논리라는 단어를 쓰지 않았을 뿐이지 우리도 요즘 아이들 못지않게 논리 교육을 받았다. 언제? 수학 시간에.

계산을 하는 대수를 배울 때는 사실 논리적일 틈이 없었다. 계산하기 바빴기 때문에. 하지만 도형, 즉 기하는 달랐다. 기하는 문제를 무작정 많이 푼다든지 또는 좋은 선생님에게 차근차근 배운다고 해결되지 않았다. 생각을 해야 했다. 아니, 기하를 공부하다 보면 생각하는 법이 저절로 생겼다. _ 이정모(과학평론가)

미국에서 엘리트가 되려면 반드시 도형을!

기하학은 이렇듯 유용합니다. 하지만 그보다 중요한 건 기하학이 중요하다는 겁니다.

서양에서는 이 기하학이라는 게 수사학, 문법, 음악 등과 함께 중세 이래 교양인이라면 누구나 익혀야 하는 7가지 자유 학예 중의 하나였을 정도입니다. 지금도 마찬가지입니다. 미국의 경우 엘리트가 되기 위해서는 중학 과정에서 반드시 이수해야 할 과정으로 받아들이고 있습니다. 미국에서도 과학기술고 같은 곳에 가려면 중학교 때에 기하학을 이수해야 한다(‘미국 초·중·고, 수학·과학 선행학습 열풍’ _ 조선닷컴 2007년 8월 21일 남승우 기자 입력)고 할 정도니까요.

우리나라도 사정은 크게 다른 것 같지 않습니다. 앞으로 대학 입시에서 관건으로 작용할 시험은 이른바 ‘통합 논술’이라고 하는데, 이 통합 논술의 기초가 되는 부분이 바로 논리적 사고이니까요.

어때요? 이제 도형을 한번 제대로 공부하고 싶은 마음이 드나요? 만일 그렇다면 『친절한 도형 교과서』는 크게 도움이 될 겁니다. 이 책을 쓴 필자는 친절하고 유머러스한 설명으로 아이들에게 쉽게 수학의 개념을 잡아 준다고 정평이 나 있기 때문입니다. 또 이 책은 단순한 도형 문제의 풀이가 아닌 기하학적 기초를 다지는 데 중점을 두고 있습니다.

이제 바쁜 선생님 붙잡고 늘어지지 않아도 됩니다. 이제 상위 20%를 위해 강의를 진행하는 학원 선생님을 원망하지 않아도 됩니다. 『친절한 도형 교과서』가 옆에서 하나하나 상세하게 설명해 줄 테니까요.

지은이와 그린이 소개

지은이 나숙자  전남대학교 사범대 수학교육과를 졸업하고 중학교 수학 교사로 활동하고 있다. 수학 교육의 새로운 시도를 위해 이화여자대학교 교육대학원의 문을 두드려 수학 교육 전공으로 석사 학위를 받았으며, 현재 강신중학교에서 아이들을 가르치고 있다. 그는 개념과 원리 위주의 수업을 지향하는 한편, 수업 중 다양한 방법으로 아이들의 참여를 이끌어 수학 시, 수학 만화, 수학 일기 등 창의적인 아이디어를 모은 『수학 신문』을 제작하기도 했다. 또 2007년부터 방과 후 학교로 ‘학부모 수학 교실’을 운영해 학부모들이 직접 아이들에게 수학을 가르칠 수 있도록 도움을 주고 있다. 홈페이지 주소는 http://comzi.x-y.net.

그린이 신상희  예술 없이는 살 수 없다고 생각하는 스물두 살의 대학생. 두 눈이 있고 오른손이 있어 그림이나 글로 자신 안의 무언가를 표현할 수 있다는 사실을 가장 큰 축복으로 생각할 정도로 그림 그리기와 글쓰기를 좋아하는데다, 지은이의 막내딸이라는 특수 관계까지 겹쳐 이 책의 그림 작업을 도맡아 하게 되었다. 하지만 그 과정에서 엄마와는 끝없는 갈등을 겪게 되는데, 그 모두가 여유를 너무나 사랑한 나머지 지나치게 여유를 부리고, 잠을 기호라고 생각하면서 취미 생활에 충실한 탓이었다. 그러나 결국은 완벽주의자적 본성을 못 버려 이 책의 그림을 그리느라 여름방학을 일에 파묻혀 지낸 비운의 주인공.

1권 차례

추천사  6

아름다운 수학 세상으로 함께 길을 떠날 친구들  9

수학을 사랑합니다!  10

아름다운 수학 세상으로 여행을 떠나는 아이들에게  12

PART 1  기하 입문  17

1  기하가 도대체 뭐길래…   19

2  오! 이게 그 유명한 유클리드의 『원론』   37

3  비유클리드 기하학이라고?  51

수학 요리 콘테스트 68

PART 2  정리와 증명  73

1  뭐? 점, 선, 면의 정체를 밝힌다고?   75

2  위에 있다, 사이, 합동? 그거 다 아는데…   83

3  증명, 명제, 그리고 정리  91

4  추론을 했으면 증명도 해야지!  101

수학 요리 콘테스트 120

PART 3  점·선·면  125

1  점, 선, 면은 모든 도형의 기본이지!  127

2  도형을 이루는 또 하나의 요소, 각  149

3  직선과 평면, 그리고 차원  161

4  도형의 작도를 자와 컴퍼스만으로?  181

수학 요리 콘테스트 194

PART 4  도형의 기초  199

1  삼각형을 결정하는 조건은?  201

2  다각형의 모델이 삼각형이라고요?  219

3  원과 정다면체는 삼차원 공간에서 산대요!  237

수학 요리 콘테스트 262 / 이 정도 문제쯤이야! 267

아름다운 수학 세상을 향한 여행을 마치며  269

‘이 정도 문제쯤이야!’ 풀이와 정답  270

찾아보기  272

2권 차례

추천사  6

아름다운 수학 세상으로 함께 길을 떠날 친구들  9

수학을 사랑합니다!  10

아름다운 수학 세상으로 여행을 떠나는 아이들에게  12

PART 1  도형의 측정  17

1  평면도형의 넓이? 기본이지!  19

2  드디어 입체도형의 부피로!  39

수학 요리 콘테스트 57 / 이 정도 문제쯤이야! 61

PART 2  도형의 성질  65

1  도형에 관한 기본 개념을 알아야…   67

2  도형의 주인공 삼각형의 성질은…   83

3  아무리 못생긴 삼각형이라도 오심은 있다!  97

4  오! 드디어 사각형들이 무대에 나서는군!  121

5  삼각형이 사각형으로 변신한다고?  141

수학 요리 콘테스트 153 / 이 정도 문제쯤이야! 159

PART 3  도형의 닮음  163

1  어디까지 닮아야 닮았다고 할 수 있죠?  165

2  삼각형은 어떨 때 닮음이라고 해요?  189

3  닮은 삼각형의 작도와 성질  201

4  닮음비와 넓이 비, 부피 비의 관계  217

수학 요리 콘테스트 237 / 이 정도 문제쯤이야! 245

아름다운 수학 세상을 향한 여행을 마치며  248

‘이 정도 문제쯤이야!’ 풀이와 정답  249

찾아보기  252

3권 차례

추천사  6

아름다운 수학 세상으로 함께 길을 떠날 친구들  9

수학을 사랑합니다!  10

아름다운 수학 세상으로 여행을 떠나는 아이들에게  12

PART 1  피타고라스의 정리  17

1  이게 바로 피타고라스의 정리!  19

2  피타고라스의 정리, 이렇게도 증명한다!  31

3  페르마의 마지막 정리와 피타고라스의 수  61

4  피타고라스의 정리는 이래서 좋다!  71

5  논증기하, 해석기하를 만나다!  85

6  피타고라스의 정리 하나만 알면…  97

수학 요리 콘테스트 100 / 이 정도 문제쯤이야! 111

PART 2  원  115

1  세상에는 원이 왜 그리 많지?   117

2  원의 일부인 호만 있으면 문제없어!   125

3  원과 직선이 만나면…  135

4  원과 각도 사이에는…  143

5  원과 사각형이 만나면…  153

6  원의 접선과 현이 만나면…  163

7  원에서의 비례 관계를 만나다!  171

수학 요리 콘테스트 179 / 이 정도 문제쯤이야! 190

PART 3  삼각비  193

1  삼각비, 닮음에서 업그레이드되다!  195

2  마법의 삼각비를 만나다!  205

3  삼각비는 어디에 쓰는 걸까?  237

수학 요리 콘테스트 260 / 이 정도 문제쯤이야! 269

삼각비의 표 272

아름다운 수학 세상을 향한 여행을 마치며  273

‘이 정도 문제쯤이야!’ 풀이와 정답  274

찾아보기  279

1권 본문 엿보기

유클리드의 5공리 사랑

유클리드가 말하기를

같은 것에 같은 것은 서로 같다 하였으니

(A = B, A = C이면 B = C)

그래, 어쩌면 우리는 같은 사람인가 보다.

유클리드가 말하기를

같은 것에 같은 것을 더하면 그 전체 또한 서로 같다 하였으니

(A = B이면 A + C = B + C)

그래, 어쩌면 우리는 함께하여야 할 운명인가 보다.

유클리드가 말하기를

같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지 또한 서로 같다 하였으니

(A = B이면 A - C = B - C)

그래, 어쩌면 우리는 헤어져서는 안 될 운명인가 보다.

유클리드가 말하기를

서로 포개지는 둘은 같다 하였으니

그래, 어쩌면 우리는 애초부터 하나였나 보다.

유클리드, 그의 마지막 말이

전체는 부분보다 크다 하였으니

그래, 어쩌면 우리는 ‘홀로서기’가 아닌

‘함께서기’를 해야 할 운명인가 보다.

이제 수학 요정이 말하기를

직관이나 경험보다는

빈틈없는 논리가 한 수 위라 하였으니

그래, 어쩌면 우리에게는 기하학이 꼭 필요한가 보다. (친절한 도형 교과서 1권: 본문 69～70쪽 중에서)

“항아리나 맨홀 뚜껑이 원 모양이 아니라 삼각형 모양이면 어떨까요? 또 부엌에서 사용하고 있는 냄비가 사각형 모양이면 어떨까요? 물 마실 때 사용하는 컵이나 빨대의 주둥이도 사각형 모양이면 더 재미있을 거 같아요. 신호등도 그래요. 지금의 원 모양이 아니라 하트 모양이면 보는 사람의 마음이 따뜻해지지 않을까요?”

“삐양아, 우리 집에서 사용하는 접시들이 대개 어떤 모양이지?”

“원 모양이잖아요?”

(…중략…)

“동일한 양의 재료를 사용해서 접시를 만들 때 원이 삼각형이나 다른 도형보다 더 큰 넓이를 갖게 된다는 것을 보여 준단다. 따라서 어떤 음식을 접시에 담는다면 원 모양 접시에 가장 많은 양의 음식을 담아낼 수 있다는 것을 선조들은 알고 있었던 거지.”

“엄마! 냄비 바닥이 대부분 원 모양인 것도 많이 담기 위해서인가요?”

“그럴 수도 있겠지. 하지만 냄비의 경우에는 어떤 것이 가스 불이 고루 잘 전달되는 형태인지를 먼저 고려했을 거야.

“(…중략…) 삼각형이나 사각형 모양은 가스 불이 전달되는 거리가 일정하지 않지? 그러다 보면 불기운이 잘 전달되지 않는 곳이 생길 수도 있어. 그에 비해 원 모양은 어느 부분이든 가스 불이 고루 전달된단다. 따라서 냄비 바닥이 원 모양일 때 더 맛있는 요리를 할 수 있겠지?” (친절한 도형 교과서 1권: 본문 252～254쪽 중에서)

2권 본문 엿보기

“엄마, 칭찬하기에는 아직 일러요. 지금부터가 중요해요. 구의 겉넓이를 비교해 볼 작정이거든요.”

“겉넓이는 부피와 달라서 자르면 자를수록 커지지 않을까?”

“그래요, 엄마. 큰 구의 겉넓이 이고, 작은 구 하나의 겉넓이 이니까 작은 구 8개의 겉넓이는 이네요. 그런데 작은 구의 반지름 이니까 ! 결국 작은 구의 겉넓이는 큰 구의 겉넓이의 딱 두 배가 돼요. 그러므로 8조각을 냈을 때 겉넓이가 두 배가 된다는 사실은 잘게 썰면 단면이 넓어진다는 의미이고, 단면이 넓어지면 그만큼 소화효소가 많이 묻게 되어 소화가 더 잘되는 거지요. 음식을 꼭꼭 씹어 먹어야 하는 이유는 바로 여기에 있어요.” (친절한 도형 교과서 2권: 본문 53～55쪽 중에서)

이제 파이데이라고 불러요!

3월 14일! 여러분들이 화이트데이라고 말하고 있을 때

누군가 작은 목소리로 π(파이)day라고 얘기한다면? 그냥 웃지요.

3월 14일 1시 59분 26초…

언젠가 그때가 오면 π(파이)time 어때요?

π(파이)time이 오면 그날은 수학 공부를 안 해도 된다, 좋은 생각이지요?

원둘레(원주)의 길이를 지름의 길이로 나눈 값 원주율은

3.141592653589793238…

과연 π(파이)time이 올까요? (친절한 도형 교과서 2권: 본문 56쪽 중에서)

3권 본문 엿보기

“엄마, 오늘 피자는 반원 모양에 크기도 다 다르네요.”

“이 엄마의 작전이란다. 그럼 우리 삐양은 어떤 걸 먹을 거니?”

“당연히 가장 큰 걸 먹어야죠!”

“그러면 나머지 작은 것 두 조각은 우리 삐군이 먹으렴.”

“엄마! 어떻게 이러실 수가 있어요? 저는 엄마가 세 조각 중에서 한 조각을 드실 줄 알고 가장 큰 조각을 선택한 건데 말예요. 두 조각을 먹게 된 삐군이 더 이익이잖아요!”

“삐양아, 너 요새 수학 공부를 게을리 하는 모양이로구나. 피타고라스의 정리를 활용할 줄 안다면 네가 먹는 피자와 삐군이 먹는 피자의 양이 똑같다는 걸 알 수 있을 텐데….”

“정말요? 어떻게 그렇게 되죠?”

“설명을 해 줄 테니 잘 들으렴. 위의 그림과 같이 각각 반원으로 둘러싸인 직각삼각형 ABC의 세 변 중 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a, b라 하고, 빗변의 길이를  c라고 하자.

이 직각삼각형의 각 변의 중점은 각각 세 개의 반원의 중심이니까 그 반지름의 길이는 각각 [eqn: {a} over {2} ,`` {b} over {2} ,`` {c} over {2}]가 돼. 그러면 a를 지름으로 하는 가장 작은 반원의 넓이는 , b를 지름으로 하는 중간 크기의 반원의 넓이는 , 그리고 c를 지름으로 하는 가장 큰 반원의 넓이는 .

이때 작은 반원 두 개의 넓이의 합은 이 되잖니? 그런데 피타고라스의 정리에 의하면 이 직각삼각형 ABC에서 이라는 등식이 성립하지? 따라서 이 되니까, 결국 작은 반원 두 개의 넓이의 합은 커다란 반원 하나의 넓이와 같게 된단다. 다시 말해 삐양의 커다란 피자 한 조각과 삐군의 작은 피자 두 조각의 크기는 똑같다는 얘기가 되는 거야.” (친절한 도형 교과서 3권: 본문 55～57쪽 중에서)

우리 엄마는 나의 외접원

항상 내 곁을 지켜 주시는 우리 엄마는 나의 외접원.

늘 그 자리에 계시는,

그래서 너무나 편한

우리 엄마는 나의 외접원.

내가 가끔 지쳐 있거나 흔들릴 때

나를 품어 주시는

우리 엄마는 나의 외접원.

삼각형처럼 뾰족뾰족하면서 가끔은 구겨진 생각으로

좌충우돌하는 나를 변함없이

동화처럼

마법처럼

작은 몸짓 하나로

모난 내 모습을

둥글둥글하게

아름다운 원으로 감싸 주시는

우리 엄마는 나의 외접원. (친절한 도형 교과서 3권: 본문 187～188쪽 중에서)

추천사

고등학교와 대학교에서도 기하는 필요했다!  나는 기하를 썩 잘하지 못했다. 유감이지만 그때는 ‘이딴 것을 어디에 쓴다고….’라며 스스로 위안했다. 그런데 그게 아니었다. 고등학교와 대학교에서도 기하는 필요했다. 그리고 전공인 생화학이나 무기화학, 그리고 물리학을 하는 데도 기하는 매우 중요했다. 이번에는 입체 기하가 필요했지만, 근본은 평면 기하와 같았다. 내가 뒤늦게 초등학교와 중학교 교과서를 다시 보겠다는 용기를 낸 것은 분명 행운이었다.  - 이정모(과학 평론가)

자기 주도 학습에 적합한 쉬우면서도 친절한 책  이 책은 ‘기하학’, 즉 도형이라는 전문 지식을 주변에서 흔히 볼 수 있는 예를 통해 쉬운 단어와 문장으로 재치 있게 전달하고 있다. 저자의 오랜 교육 경험 덕분이리라. 이런 점에서 이 책은 ‘자기 주도 학습’으로는 최소의 비용으로 최대의 효과를 낼 것이라 판단된다. 이것이 바로 이 책의 가장 큰 미덕이다.  - 안성용(1318class.com 대표)

기하의 진정한 목표는 논리적 사고 능력 배양  기하의 진정한 가치는 유용성에 있는 것이 아니었다. 위치만 있는 점, 면적은 없이 길이만 있는 선과 같은 추상적 사고에 익숙해지고, 정의와 공리에 따라 결론을 유추해 내는 논리적 사고 능력을 기르는 것이 기하학 학습의 진정한 목표였던 것이다. 기하학을 배울 당시에는 이런 것을 알지 못했다. 하지만 만일 이 과정이 없었더라면 과연 어떻게 되었을까?  - 박종백(지멘스 연구소장, 전기컴퓨터공학 박사)

자신의 논리를 객관적으로 전개하기 위한 밑바탕  자신의 논리를 상대방이 인정하지 않을 수 없도록 객관적인 방법으로 전개해 나가는 능력은 과목에 상관없이 모든 서술형 문제의 기본이다. 따라서 응시자를 심도 있게 평가할 때는 이런 서술형 문제 위주로 낼 수밖에 없다. 과거 대입 본 고사나 대학 및 대학원의 시험 문제들이 서술형 위주인 것도 그래서이다. 그런 면에서 기하학의 증명은 논리적인 사고를 기르는 데 확실한 밑바탕이 된다. 시대와 지역을 불문하고 말이다.

- 이용석(삼성전자 책임연구원, 이학박사)

수학이 부족한 학생들이 특히 읽었으면…  수학에 관심을 갖고는 있지만 그에 대한 개념은 제대로 잡혀 있지 않은 중학생입니다. 수학을 엄청나게 싫어하는 학생, 또는 관심은 있지만 그만한 실력이 되지 않는 학생들은 꼭 한번 읽어 보셨으면 합니다. 개념을 잡는 데도 많은 도움이 되고, 무엇보다도 그림과 그래프 등 부연 설명거리들이 많기 때문에 이제껏 공부하면서 이해하지 못했던 많은 것들을 쉽게 이해할 수 있답니다.  - YES24 독자(‘인간이 되자’ 서평 중에서)