수학멘토 준교쌤의 실전에 강한 문제 풀이의 기술

2012년 수능부터 새로 추가된 미적분과 통계 기본의 대표적인 기출문제 284문항을 뽑아 유형별로 분류하고 분석한 기출문제 분석서이다. 문과 수험생들은 새로 추가된 미적분과 통계 기본을 어떻게 공부해야 하고 어떤 유형의 문제들이 출제될지 상당히 난감해한다. 준교쌤은 수능과 평가원, 교육청 등에서 출제되었던 미적분과 통계, 확률뿐 아니라 간접 출제되는 경우의 수 문제까지 망라하여 대표적이고 기본적인 유형을 뽑았다. 하지만 단순 계산 문제가 아니라 간단하지만 답을 구하기 까다로운 문제를 주로 다루어 학생들이 문제에 접근하고 해결하는 능력을 키우는 것을 위주로 한다. 미적분의 기본 개념을 묻는 문제, 원리는 간단하지만 어려운 이항정리와 중복조합, 몇 가지 개념을 익혀 통계의 기본 발상을 이해할 수 있도록 하는 문제들을 실었다.
 

수능 수학의 지름길 시리즈, 이렇게 다르다!

수학은 ‘많은 문제를 직접 풀어 봐야 실력이 는다’는 고정관념을 깨뜨린 ‘수능수학의 지름길 시리즈’ 두 번째 권인 『수능수학의 지름길 : 미적분과 통계 기본』 편이 나왔다. 이번 책은 2012년 수능부터 새로 추가된 미적분과 통계 기본의 대표적인 문제 284문항을 수능, 평가원, 교육청 기출문제에서 뽑아 유형별로 분류하고 분석하였다.

준교쌤의 ‘수능수학의 지름길 시리즈’는 “실전에 강한 문제 풀이의 기술-읽기만 해도 등급이 올라간다”는 것을 모토로 삼고 있다. 또 문제를 보고 해결 방법이 얼른 떠오르지 않을 때는 풀이를 참고하라고 한다. 여기에다 버스든 지하철이든 이동하는 시간을 이용하거나 자투리 시간을 활용해서 읽기만 해도 수학 실력이 늘 수 있다는 언뜻 황당해 보이는 주장을 한다.

사실 수학은 개념을 정확히 이해하고 나서 많은 문제를 풀어야 하는 것이 여전히 핵심이기는 하다. 다만 시간이 넉넉하지 않은 수험생들이 단기간에 수학 성적을 올리기 위해서는 차근차근 정도만 따라가서는 성적을 올리기 어려운 것이 현실이다.

이 책의 필자 준교쌤이 책을 쓴 동기는 여기에서 출발했다. 수학을 포기하는 학생이 60%에 이르는 상황이지만 수학을 완전히 포기해 버리면 수능에서 좋은 성적을 올리기는 어렵다. 따라서 끝까지 수학을 포기하지 않으면서 단기간에 성적을 올리는 가장 좋은 방법은 수능이나 평가원의 기출문제 유형을 파악하고 접근법을 익혀 다른 문제에 적용하는 힘을 기르는 것이다. 이때의 공부법이 문제를 읽어 보고 얼른 해결책이 떠오르지 않으면 풀이법을 읽는 것이다. 그러고 나서 일주일 후에 그 문제를 다시 풀어서 확인하는 식이다. 이렇게 기출문제를 반복해서 공부하다 보면 어느 틈에 문제 유형에 익숙해지고 해법이 자연스럽게 떠오른다. 아니 유형에 익숙해지고 해법이 자연스럽게 생각날 때까지 되풀이해서 기출문제를 공부하는 것이 3-4등급 정도 중위권 수준의 학생이 수능을 앞두고 공부하는 방법이라는 것이다.

준교쌤은 또 문제 풀이 전략을 한 문장의 ‘제목’으로, 문제에 접근하는 방법을 ‘준교쌤의 공략법’으로, 풀이 과정을 step1과 step2로, 문제풀이에서 핵심이 되는 공식 등을 point로 밝혀 해법을 정확하게 짚어 준다. 그렇게 해서 “유형별 정리, 원 포인트 레슨으로 개념 이해에서 실전 응용”까지 할 수 있는 것이다.

이 책은 상위권에게도 도움이 된다. 수능은 빠르고 정확하게 문제를 풀어 시간 안배를 잘하고 실수를 하지 않는 것이 관건이다. 이를 위해 준교쌤은 가장 빨리 문제를 해결할 수 있는 간결한 풀이법을 소개한다. 직관적 방법이라고도 하는 이런 풀이법은 수능처럼 시간을 다투어 문제를 풀 때는 더없이 효과적이다. 준교쌤은 차근차근 문제를 풀어 가는 정공법의 풀이와 직관적 풀이를 비교해 가면 학생들에게 알려 준다. 여기에 대화체로 조곤조곤 일러 주는 준교쌤의 화법은 마치 과외선생이 옆에서 가르쳐 주는 느낌이 들게 해 수학에 대한 거부감을 조금이나마 완화해 줄 것이다.


『수능수학의 지름길 : 미적분과 통계 기본』에서 제시하는
미적분과 통계 기본 공략법

까다로운 미적분 문제를 집중 해부한다!
기본 개념을 물으면서도 막상 답을 구하기는 까다로운 기출문제들만 엄선해 그래프와 함께 풀 수 있도록 구성하였다. 소수의 상위권 학생들만 알던 산술기하평균을 이용한 최대•최소 구하기, 편미분 등을 일반 학생들도 수능 실전에서 활용할 수 있도록 상세하게 설명을 달았다. 이 책에서 빠르고 정확하게 답을 구하는 방법을 찾을 수 있다.

확률이 술술 풀리는 ‘발상법’ 공개한다!
이항정리와 중복조합은 원리는 간단하지만 의외로 어려운 단원이다. 게다가 출제 비중마저 높아져 수험생들에게는 걱정이 이만저만 되는 게 아니다. 확률의 기본은 ‘발상’이다. 이 책에서는 준교쌤의 명쾌한 원리 설명과 문제 풀이 과정을 익힐 수 있다. 또한 준교쌤은 ‘경우의 수’ 문제를 다양하게 제시해 확률 문제 해결을 위한 ‘사고력’을 키워 준다.

통계의 기본 개념이 머릿속에 쏙쏙 들어온다!
통계는 기본 개념을 잘 이해하지 못하는 학생들이 많다. 하지만 몇 가지 개념만 정확하게 이해하면 통계는 의외로 간단하게 풀리기도 한다. 준교쌤은 통계 문제를 풀어 가는 과정에서 기본 개념이 자연스럽게 이해되도록 책을 구성하였다.


<차례>

Ⅰ 함수의 극한과 연속

1 함수의 극한

1│극한값과 함숫값은 다르다
2│  꼴은 분자를 분모로 인수분해한다
3│무리식의  꼴은 유리화해서 약분하자
4│극한값이 존재할 때의 조건을 생각하자
5│극한값을 이용해서 미정계수를 구하자
6│우극한, 좌극한에 따라 결과가 달라진다
7│합성함수의 극한값, 그래프에서 찾는다
8│치환해서 괄호 안을 간단히 하자
9│  의 범위에 따라 구간을 나누자
★ 준교쌤에게 물어봐_수능 특강과 기출, 뭐가 더 중요하나요 ★

2 함수의 연속

1│이어져 있으면 연속, 끊어져 있으면 불연속
2│함수의 그래프로 연속성을 판단하자
3│불연속점은 그래프가 끊긴 부분이다
4│합성함수의 극한은 치환을 이용하자
5│구간을 나누어 그래프를 그려 보자
6│불연속점에 0을 곱해서 연속을 만들어 주자
7│함수의 그래프로 연속성을 판별하자
8│극한값과 함숫값이 존재하고, 같으면 연속이다
9│그래프로 함수의 극한과 연속을 알아보자
10│주어진 조건에 따라 그래프를 그려 보자
11│좌극한과 우극한, 함숫값이 같으면 연속이다
12│그래프를 보고 합성함수의 연속성을 판단하자
13│곱하는 식에 따라 연속•불연속이 달라진다
14│정의역에 따라 불연속점의 개수가 달라진다
15│그래프의 개형을 그려서 연속성을 알아보자
★ 준교쌤에게 물어봐_수리영역을 반타작했는데 어떡하죠 ★


Ⅱ 미분법과 적분법

1 미분과 그래프

1│미분을 이용해 그래프의 개형을 그려 보자
2│‘미분가능하지 않다’의 뜻을 이해하자
3│뾰족점에서는 미분이 불가능하다
4│그래프를 보고 뾰족점의 개수를 파악하자
5│뾰족점이 없어야 실수 전체에서 미분가능하다
6│그래프의 개형으로 증가•감소 구간을 찾는다
7│그래프가 모든 것을 말해 준다
8│주어진 조건과 그래프를 활용하자
9│미분가능과 극값의 의미를 이해하자
10│조건을 이용해서 그래프를 그리자
11│그래프가 직선에 접할 때의 식의 특징
12│절댓값 기호를 포함한 식의 그래프
13│  이면 원점 대칭
14│가능한 모든 그래프의 모양을 그려 보자
15│조건을 보고 그래프의 모양을 추측하자
16│미분한 그래프의 개형을 그려 보자
17│최대•최소 문제는 직관을 이용하자
18│그래프를 그린 후에 참•거짓을 판별하자
19│그래프의 개형을 식으로 나타내자
★ 준교쌤에게 물어봐_미적분은 도대체 어떻게 공부하나요 ★

2 미분 응용 문제

1│  축 대칭이면  =  가 성립해
2│함수의 극한을 이용해 함수  를 유추하자
3│미분가능의 성질을 이용하자
4│이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하자
★ 준교쌤에게 물어봐_시험장에선 왜 문제가 안 풀리나요 ★

3 미분의 여러 가지 방법

1│입체도형의 최대•최소는 산술기하평균으로
2│산술기하평균을 이용하면 편하다
3│밑면이 정다각형이면 산술기하평균을 이용하자
4│하나의 변수에 대해서만 미분하자
5│변수가  ,  두 개이면 편미분을 이용하자
6│변수 x에 대하여 편미분하면  는 상수
7│로피탈 정리를 이용하자

4 미분의 활용

1│닮음을 이용해서 그림자 길이의 변화율을 구하자
2│길이의 변화율로 넓이의 변화율을 구하자
3│복잡한 형태의 실생활 응용 문제

5 구분구적법

1│구분구적법의 뜻을 이해하자
2│구분구적법을 이용해서 미정계수 구하기
3│구분구적법의 정의에 따라 참•거짓을 판별하자
4│수열을 이용해서 사각형의 넓이의 합을 구하자
5│근삿값의 오차를 구하는 문제
★ 준교쌤에게 물어봐_ 실수가 너무 많은데 어떡하죠★

6 적분과 그래프

1│속도를 적분하면 위치가 된다
2│두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이
3│조건으로 그래프의 특성을 파악하자
4│그래프 속에 답이 있다
5│그래프를 그려서 적분값을 구하자
6│그래프의 평행이동을 이용하자
7│그래프와 조건을 보고 직관적으로 생각하자
8│이차식의 적분에는 공식을 사용하자

7 적분 응용 문제

1│조건에 따라 구간을 나누어 적분하자
2│양변의 식의 차수를 비교하자
★ 준교쌤에게 물어봐_ 도형에 너무 약해요 ★

8 미적분 ㄱㄴㄷ 문제와 증명 문제

1│정적분으로 정의된 함수의 미분을 이용하자
2│유사미분계수에 주의하자
3│경계점 좌우의 미분계수를 비교해 보자
4│주어진 조건에서 그래프의 개형을 추측하자
5│그래프를 분석해서 원하는 정보를 얻어 내자
6│우함수와 기함수의 특징을 이용하자
7│여러 경우를 생각하여 그래프를 그려 보자
8│미분을 이용해서 그래프의 개형을 파악하자
9│미분한 후에 중간값의 정리를 이용하자
★ 준교쌤에게 물어봐_인터넷 강의를 들어야 할까요 ★


Ⅲ 경우의 수

1 기본적인 경우의 수

1│경우의 수의 기본은 세어 보기
2│문제의 조건에 따라 경우를 나누자
3│주어진 조건에 따라 차근차근 생각하자
4│가격을 만족하는 조합을 찾아보자
5│A, B가 이웃하는 경우부터 구하자
6│이웃하는 조건으로 의자에 앉는 경우의 수
7│특정한 조건을 기준으로 생각하자
8│특별한 조건부터 차례로 따져 보자
9│각각의 조건을 만족하는 경우의 수를 구하자
10│곱의 법칙을 이용하자
11│같은 프로그램을 선택하는 경우를 생각하자
12│구분이 없을 때는 중복되는 경우를 제외하자
13│각 자리에 올 수 있는 경우의 수를 생각하자
14│경우가 너무 많으면 여사건을 이용하자
15│포함하지 않는 여사건을 생각하자
16│역시 여사건을 이용하자
17│수형도를 그려서 따져 보자
18│주어진 조건을 이용해 직접 나열하자
19│스티커의 종류를 알파벳으로 나타내어 보자

2 같은 것을 포함한 순열

1│같은 것을 포함한 순열의 공식을 이용하자
2│경로의 조합으로 경우의 수를 구해 보자
3│시간 합계가 8시간이 되는 경우를 찾아보자
4│조건을 만족하는 조합을 모두 찾아보자
5│첫째 자리의 수로 수의 대소를 판별하자
6│이웃하는 경우를 하나의 문자로 나타내어 보자
★ 준교쌤에게 물어봐_4점짜리 문제는 도저히 못 풀겠어요 ★

3 경로의 수(길찾기) 문제

1│각 지점마다 경로의 수를 표시하자
2│최단거리로 가는 경우의 수는 더하기 문제
3│경로의 수의 규칙을 찾아 일반항을 구해 보자
4│가로와 세로 방향을 문자로 생각하자
5│조건을 만족하지 않는 경로를 제외하자

4 순서가 정해진 순열

1│순서가 정해진 순열은 같은 문자로 생각한다
2│순서가 정해져 있으면 같은 문자로 생각하자
3│우선순위가 있을 때는 순서가 정해진 순열이다

5 조합 응용 문제

1│조합은 순서를 생각하지 않고 택하는 것
2│조합의 공식을 이용하자
3│조건을 만족하는 경우를 모두 따져 보자
4│방 배정 문제는 조합으로 구하자
5│특정한 것을 포함하거나 제외하는 경우의 수
6│조건을 만족시키는 경우를 찾아보자
7│문제에 주어진 조건에 주목하자
8│주어진 식의 의미를 잘 따져 보자
9│제약 조건을 생각해 경우의 수를 구하자
10│같은 문자끼리 이웃하지 않는 조건이 주어질 때
11│조건을 만족하지 않는 경우를 찾아보자

6 함수의 개수 구하기

1│조건을 만족하는 함수의 개수를 구하자
2│조건에 맞게 그림을 그려 보자
★ 준교쌤에게 물어봐_답을 보고 풀어도 되나요 ★

7 중복조합

1│중복조합의 뜻을 이해하자
2│무기명 투표는 중복조합을 이용하자
3│중복조합을 이용해 문제를 풀어 보자
4│경우를 나누어 식을 세우자
5│중복조합을 이용한 함수의 개수 구하기

8 이항정리

1│이항정리 문제는 조합을 이용하자
2│이항정리의 일반항 공식을 이용하자
3│이항정리의 성질을 이용하자
4│각 항의 계수를 구해 식을 세우자
5│이항정리를 이용해 계수를 비교하자
6│두 다항식의 항의 계수를 비교하자
7│특정한 차수를 만족시키는 항을 찾아보자

9 경우의 수 (가)(나)(다) 증명 문제

1│식의 앞뒤 관계를 파악하자
2│경우의 수를 쪼개 주자
3│양변의 계수가 같다는 것을 이용하자
4│부분집합의 원소의 개수를 이용하자
5│이항정리를 이용해서 조합의 공식을 구하자
★ 준교쌤에게 물어봐_순열•조합, 확률 단원에 너무 약해요 ★


Ⅳ 확률

1 간단한 확률 문제

1│확률의 기본은 경우의 수
2│두 수의 합이 짝수인 경우를 생각하자
3│각각의 확률을 계산한 다음 모두 더하자
4│조건을 만족하는 경우의 수부터 구하자
5│확률을 직접 구한 다음 대소를 비교하자
6│조건을 만족하는 경우를 찾자
7│점수의 합이 일정할 때의 확률을 모두 더해 주자
8│조건을 중심에 놓고 단순하게 생각하자
9│A와 B가 같은 차에 배정되는 경우를 찾자
10│세 수의 합이 홀수, 곱이 3의 배수인 경우
11│각각의 경우의 확률을 구해서 곱하자
12│두 시행의 확률을 곱해 주자
13│조를 구성하는 경우의 수부터 구하자
14│조합으로 바로 풀린다
15│나머지의 의미를 생각하자
16│집합의 원소의 개수로 확률을 구하자
17│배반사건의 의미를 이해하자
18│‘적어도’이면 여사건의 확률을 떠올리자
19│경우의 수에서 중복되는 경우를 제외하자
20│먼저 순서를 만족하는 경우의 수를 구하자
★ 준교쌤에게 물어봐_사설 수리 시험을 망쳤어요 ★

2 확률의 독립

1│확률의 독립의 성질을 이용하자
2│  이면 A와 B는 독립이다
3│A, B가 독립이면  를 이용하자
4│독립사건과 배반사건의 의미를 생각하자
5│집합의 성질을 떠올려 보자
6│표를 잘 분석하자
★ 준교쌤에게 물어봐_독학으로 재수를 하는데 힘이 들어요 ★

3 조건부 확률

1│조건부 확률의 의미를 생각하자
2│조건부 확률 공식에 대입하자
3│역시 조건부 확률 공식을 이용하자
4│사건 A가 일어났을 때 사건 B가 일어날 확률
5│‘~일 때 ~일 확률’은 조건부 확률이다
6│주어진 표를 정확히 이해하자
7│표를 보고 조건부 확률을 계산하자
8│주어진 조건을 통해 조건부 확률을 계산하자
9│  인 경우의 조건부 확률
10│~일 때, ~일 확률에 해당되는 조건을 찾자
11│주어진 조건을 통해 조건부 확률을 계산하자

4 독립시행의 확률

1│어떤 사건이 특정한 횟수만큼 일어날 확률
2│각각의 경우의 독립시행의 확률을 구하자
3│먼저 B가 주사위를 가지고 있을 경우부터 따져 보자
4│사건이 일어날 확률부터 구하자
5│별 모양이 그려진 야구공이 있을 확률을 구하자
6│조건을 만족하는 사건의 횟수를 구하자
7│B팀이 5:4로 이기는 경우를 생각하자

5 까다로운 확률 문제

1│복잡한 상황을 최대한 단순화하자
2│여러 가지 방법으로 풀어 보자
★ 준교쌤에게 물어봐_수학에 소홀했더니 성적이 떨어졌어요 ★

6 확률 ㄱㄴㄷ 문제

1│주어진 약속을 이용해서 참•거짓을 판별하자
2│조건부 확률을 떠올리자
3│순열 조합의 공식을 이용하자
★ 준교쌤에게 물어봐_수능에 대비한 기본 실력이 뭔가요 ★


Ⅴ 통계


1 평균, 분산, 표준편차

1│이항분포의 정의를 떠올리자
2│이항분포를 구한 다음 평균과 분산을 구하자
3│이항분포의 평균과 분산을 구하자
4│확률분포표를 완성하자
5│  을 이용하자
6│평균을 구한 후 기댓값의 공식을 이용하자
7│확률변수 X, Y, Z의 특징을 파악하자
8│표준편차는 분산을 이용해서 구하자
9│가격 변동표를 통해 기댓값을 구하자
★ 준교쌤에게 물어봐_효율적인 기출 정리 방법이 있나요 ★

2 확률분포

1│이산확률분포의 기댓값과 분산을 이용하자
2│확률분포표에 주어진 정보를 이용하자
3│계산이 복잡할 때는 여사건을 이용하자
4│확률밀도함수의 그래프의 성질을 이용하자
5│그래프와  축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이다
6│확률밀도함수의 그래프의 넓이가 확률이다

3 정규분포의 표준화

1│표준정규분포의 뜻을 이해하자
2│주어진 정규분포를 표준화하자
3│표준정규분포 곡선을 그려 보면 이해가 쉽다
4│표준정규분포표가 나오면 표준화를 생각하자
5│이항분포를 통해 평균과 표준편차를 구하자
6│표준정규분포의 정의를 생각하자
7│임의추출한 표본의 표준편차를 구하자
8│표본의 크기와 모표준편차로 표본표준편차를 구하자
9│A, B 상자에서 추출한 표본의 평균과 표준편차를 구하자
10│표본의 표준편차를 구해서 표준화하자
11│임의추출로 생산 공정을 판단한다
12│표본의 크기가 같으면 표본표준편차도 같다
13│주어진 식과 그래프를 통해 평균을 구하자

4 통계적 추정

1│신뢰도와 신뢰구간의 의미를 이해하자
2│임의추출과 신뢰구간의 성질을 이용하자
3│신뢰구간의 공식에 대입만 하면 끝난다
★ 준교쌤에게 물어봐_개념서를 볼까요 문제를 풀까요 ★

5 까다로운 통계 문제

1│모든 경우의 수를 따져 보자
2│각각의 경우에 따른 확률을 구하자

6 통계 ㄱㄴㄷ 문제

1│표준화한 다음 확률의 대소를 비교하자
2│표준정규분포 곡선을 그려서 생각하자
3│이산확률분포의 성질을 이용하자
4│표준정규분포로 표준화시킨 다음 각각의 대소를 비교하자
★ 준교쌤에게 물어봐_수리영역 6등급인데 가능성이 있을까요 ★