개념부터 다시 시작하는

확률, 개념을 잡아 오해와 함정에서 벗어나자!

『개념부터 다시 시작하는 Reset! 수학』 시리즈는 고등학교 수학 교과 과정에 나오는 개념들을 알기 쉽게 풀이해 주는 ‘친절한 수학 개념 해설서’다. “개념과 원리를 알려 준다”는 책들이 대부분 기존의 문제집에서 개념과 원리 부분을 강화하는 수준에 그치는 데 비해, 이 시리즈는 말 그대로 ‘개념’과 ‘사고법’을 중점적으로 파고든다. ‘문제를 푸는’ 수학책이 아니라 ‘보고 읽으며 이해하는’ 수학책이다. 상위권 학생들에게 맞춰 진행되는 학교와 학원의 수업을 따라가기 버거운 학생들, 난이도 높은 고등학교 수학을 배워야 하는 예비 고등학생들이 읽으면 수학의 기초 체력을 단련하기에 좋다.

‘확률과 통계’ 편에서는 많은 학생들이 의외로 까다로워하는 확률 계산에서 자주 빠지게 되는 함정이나 오해를 다룬다. 이를 위해 먼저 일반적으로 말하는 확률과 수학적 확률이 어떻게 다른지, 확률에서 말하는 ‘우연한’ 사건이란 무엇인지 알아본다. 또 확률 계산 시 주의할 점이나 요령을 제비뽑기와 주사위, 복권 당첨 등 쉽고 흥미를 끌 만한 예시를 통해 설명한다. 후반부에서는 통계의 주요 개념을 풀이하는데, 기댓값이 평균과 비슷한 개념이라는 점, 분산 값이 필요한 이유와 제곱을 이용한 계산이 이루어지는 이유 등을 설명함으로써, 피상적으로만 알고 있는 주요 용어들을 명확하게 이해하도록 돕는다.

*이다새는 도서출판 부키의 어학 학습 브랜드로 ‘이제 다시 새롭게’ 배우는 기쁨이라는 뜻을 담고 있습니다. '개념부터 다시 시작하는 Reset 수학' 시리즈는 부키의 어학 학습 브랜드 이다새로 출간되고 있습니다.

개념을 확실히 잡아 주는 친절한 수학책
 
수학은 암기 과목이 아니다. 그럼에도 공식을 외고 문제를 더 많이 푸는 기계적인 방식으로 수학 성적을 올리는 데 가르치는 쪽과 배우는 쪽 모두가 혈안이 되어 있다. 기본 개념이 정립되어 있지 않은 상태에서는 공식의 암기나 심화 문제 풀이에 한계가 있음은 누구나 알고 있다. 그러나 짧은 시간에 교과 과정과 수능 시험이 요구하는 수준의 진도를 나가야 한다는 부담감에 조급함이 앞서는 것이다.

수학 수업은 물론이고 각종 문제집과 학습서마저도 상위권 학생들에 맞춰 나오다 보니, 거기에서 뒤처지는 학생들은 결국에는 이른바 ‘수포자’(수학 포기자)의 길을 걷게 된다. ‘국포자’, ‘영포자’, ‘과포자’ 등의 비슷한 조어들에 비해 ‘수포자’가 더 널리 쓰이는 것은, 그만큼 난이도가 높고 한번 진도의 흐름을 놓치면 따라잡기가 도통 쉽지 않은 수학 과목의 특성이 반영되어 있다.

이처럼 학교나 학원의 수업 진도를 따라가기 버거운 학생들, 또 중학교 수학 과정을 마치고 고등학교의 심화된 수학을 준비하고 있는 예비 고등학생들에게는 수학의 기본 개념을 찬찬히, 그러면서도 확실히 다져 주는 ‘개념 중심의 수학책’이 필요하다. 『개념부터 다시 시작하는 Reset! 수학』 시리즈는 이러한 수학의 ‘개념’에 모든 것을 바쳤다.

“개념과 원리를 알려 준다”는 책들이 대부분 기존의 문제집에 개념과 원리 부분을 강화하는 수준인 데 비해, 이 시리즈는 말 그대로 ‘개념만’ 중점적으로 파고든다. 많은 문제를 풀게 함으로써 개념을 이해시키는 것이 아니라 ‘사고하는 방법’에 초점을 맞춰 이야기보따리를 풀어 놓는 것이다. 즉 ‘문제를 푸는’ 수학책이 아니라 ‘보고 읽으며 이해하는’ 수학책이라 할 수 있다.
간간이 문제가 등장하기는 해도 개념 이해를 돕기 위해 기초적인 수준에서 고안된 것일 뿐, 현재의 고등학생들이 수시로 치르는 시험 문제와 같은 난이도는 전혀 아니다. 이 시리즈의 저자 역시 책에 등장하는 수식 중에 혹시 이해하기 어려운 것이 있다면 고민하지 말고 훌쩍 넘기라고 충고한다. ‘연습 문제 풀이’ 같은 과정 없이 단순히 책을 읽는 것만으로도 ‘적어도 개념만큼은 확실히 잡았다’라는 결론을 내릴 수 있을 것이다. 이러한 의미에서 진정한 ‘수학 개념 책’이라 할 수 있다.

 
수학의 기초 체력 단련이 필요한 사람이 읽는 책
 
이러한 수학 교과의 개념을 중점적으로 다룬 책이 과연 필요할까 의문이 들 수도 있을 것이다. 수학 교과 과정에는 집합이나 방정식, 제곱근, 도형의 성질과 같이 중학교, 심지어는 초등학교에서부터 조금씩 단계적으로 배우게 되어 있는 단원들이 있다. 이러한 단원들은 고등학교 수학에 심화된 내용으로 나오더라도 학생들의 부담이 덜하다. 반면에 고등학교에 올라가서야 처음 접할 수 있는 개념들은 갑자기 높아진 난이도와 수능 시험에 나온다는 부담감에 학생들이 괴로워할 만한 단원들이다.

이 시리즈는 1권 미적분, 2권 확률과 통계, 3권 지수와 로그, 4권 허수와 복소수로 구성되어 있는데, ‘확률과 통계’ 정도만 중학교 수학 시간에 ‘경우의 수’ 수준의 기초적인 내용을 배울 뿐, 미적분이나 로그, 복소수 등 나머지 단원들은 모두 고등학교 과정에서 처음 접하는 분야다. 학생 개개인의 이해 수준 차이는 무시된 채 진도가 나가고 수업이 진행되는 사이 응용문제를 앞에 두고 어디서부터 손대야 하는지 모르는 학생들은 좌절할 수밖에 없다. 이들에게는 문제집을 거듭 푸는 것이 아니라, 다시 기본 개념부터 차근차근 정립하는 것만이 해법이다. 그래야 문제 의도를 파악하고 풀이 방향을 탐지하는 감각을 익힐 수 있는 것이다.

따라서 이 책은 학교와 학원의 진도를 따라가지 못하는 학생들에게 동력을 제공하고 ‘수포자’들에게는 다시 한 번 수학에 도전할 수 있는 기초를 마련해 줄 것이다. 또 고등학교 진학을 눈앞에 두고 있는 예비 고등학생이나 심화 수학 단원으로 넘어가는 단계에 있는 고등학교 1학년생들에게는 본 수업에 앞서 기초를 탄탄히 하는 선행 학습의 의미를 지닐 수 있을 것이다. 상위권 학생들에게는 응용문제를 푸는 중간 중간에 다시 기본 개념을 상기시켜 줄 수 있는 보조재로서 기능할 수도 있다.
또 문과 출신으로 대학에서 경제학이나 경영학을 공부해야 하는 대학 새내기들(수학 과목이 부담스러워 문과를 선택하는 경우가 많았을 이들은 파생금융상품의 일종인 옵션의 가격 결정 모델을 배우면서 고난도의 미분 방정식을 풀어야 한다), 그리고 어떤 이유에서든 고등학교 수학책을 다시 펼쳐야 하는 성인들에게도 부담스럽지 않은 난이도의 수학책으로 활용될 수 있을 것이다.

 
개념부터 다시 시작하는 Reset! 리셋 수학 확률과 통계의 주요 내용
 
확률 계산은 수학책의 각종 계산식 중에 쉬운 축에 속한다. 확률의 계산식도 ‘해당 경우의 수/전체 경우의 수’로 간단히 표현할 수 있다. 그럼에도 꽤 많은 학생이 이 분수식과 곱셈, 덧셈 정도로 이루어지는 확률의 식을 세우기 어려워한다. 식 자체는 어렵지 않지만 경우의 수를 제대로 세거나, 두 사건이 독립적으로 시행되는지 아닌지 분간하는 것을 헷갈려 하기 때문이다. 확률이야말로 문제 풀이의 요령 터득에 앞서 ‘개념’이 먼저 확립되어야 하는 대표적인 단원이다.
 
- 확률이 하는 일이 무엇이고 어디에 쓰이는가?

확률이란 앞으로 우연히 일어날 일에 어떤 규칙이 있는지 찾고자 하는 것이다. 그런데 애초에 ‘우연’이란 무엇인가? ‘우연히 일어나는 사건’을 어떻게 규정할 것인가? 확률은 그 ‘우연’을 어떻게 취급하는가?
우리가 경험적으로 알고 있는 확률과 수학에서 다루는 확률은 다르다. 그동안 실제로 실험한 결과를 분석해 이끌어 낸 ‘통계적 확률’은 현실 세계에서 축적한 과거 데이터에서 규칙이나 법칙을 찾아내지만, ‘수학적 확률’은 하나의 가상 세계를 설정해 일어날 수 있는 모든 가능성을 시뮬레이션하는 것이다. 따라서 수학적 확률에서는 일어날 수 있는 각 경우가 ‘평등하게’ 일어난다고 가정한다. 예를 들어, 동전 두 개를 던져 하나는 앞면, 하나는 뒷면이 나오는 경우의 수를 셀 때는 ‘앞면과 뒷면’, ‘뒷면과 앞면’이 나오는 경우를 개별적인 경우로 취급해 세어야지 겉보기에 앞면과 뒷면이 하나씩 나왔다고 동일한 경우로 세어서는 안 된다.
I부에서는 이렇게 확률의 기본 전제와 취급 범위에 관한 의문을 하나하나 해결해 가면서 확률 개념의 핵심에 다가간다.
 
- 확률에 대해 흔히 하는 오해나 착각에서 벗어나기

확률의 세계는 과거에 얽매이지 않는다. 주사위를 던져 1, 1, 1, 1, 1이 나왔다 하더라도 다음에 그 주사위를 던져 1의 눈이 나올 확률은 여전히 1/6이다. 그런데 이렇게 1이 연속으로 나오는 상황을 우연이 아닌 뭔가 ‘특별한’ 일로 생각하게 되면 확률에 대한 착각이 일어난다. 사소한 일이나 드문 일이 몇 번 연속으로 일어나는 경우 사람들은 단순한 우연이 아니라 ‘뭔가 있다’라고 생각하는 경향이 있다. 이것이 확률에 대한 판단을 그르치게 만든다.
‘순수하게 우연을 따르는 도박’의 일종인 복권을 보자. 특정 복권 판매점에서는 당첨 복권이 유난히 많이 나오는 사례를 종종 보게 된다. 그런데 이는 그 가게에서 팔기 위해 구비해 놓는 복권 장 수가 많기 때문에 당첨되는 복권도 그만큼 많은 것뿐이다. 소문이 날수록 사람이 더 몰리면 파는 복권 수는 더 많아지고 당첨 복권 수도 더 많아지는 순환이 일어난다.
 
- 확률 계산은 의외로 재밌다!

복잡한 경우의 수를 셀 때 확률끼리 곱하거나 더하면 간단하게 계산할 수 있다. 이러한 방법을 이용하면 제비뽑기에서 제비 뽑는 순서에 따라 유불리가 달라지는지 검증할 수 있다. (뽑은 제비를 다시 포함시키지 않는 경우에 한해, 제비뽑기는 어떤 순서에 뽑든 평등하다.)
또 특정 사건이 일어나는 경우의 수를 세기가 너무 복잡하다면 전체 확률에서 그 사건이 일어나지 않는 경우의 수를 빼는 방법으로 셀 수도 있다.
 
- ‘기댓값’과 ‘분산’, 표준점수’ 등 기본 개념을 알면 통계가 쉽다

‘기댓값’이란 말 자체가 생소하게 느껴지는 이들은 기댓값을 ‘평균’과 같은 개념이라고 생각하면 쉽다. 다만 ‘앞으로 일어날 모든 경우의 수를 감안한 평균’ 정도로 생각하면 된다. 이 기댓값 계산법을 이용해 복권을 구매할 때 기대할 수 있는 상금을 계산해 본다.
또 ‘분산’과 ‘표준편차’, ‘표준점수’의 개념과 기본식을 설명한다. 특히 ‘표준점수’라는 말의 쓰임이 다양하게 이루어지고 있으므로 주의해야 할 점 등을 이야기한다.
 
 
<추천사>
 
이 책에서는 단순히 문제를 풀고 수학적 확률을 계산하는 것보다는 확률과 통계의 세계에서 필요로 하는 사고법에 중점을 두고 설명하고 있다. 따라서 그동안 기계적으로 문제를 풀며 정답을 맞히는 일에만 익숙해져 있는 상위권 학생부터 확률과 통계의 개념을 도무지 이해하지 못해 수학을 멀리하게 된 수포자(수학 포기자)들까지 모두 만족시켜 줄 수 있는 귀중한 책이다. - 김준교(KT에듀아이 수리영역 대표 강사)


<차례 >
 
추천사·확률과 통계, 세상을 영리하게 살아가는 법(김준교)
머리말·어렴풋이 알고 있는 확률과 통계의 실상 알기
 
I 확률은 조금 엉성하다
 
01 어떤 일이 일어나는 데는 두 가지 방식이 있다
02 확률은 우연에 점수를 매긴다
03 확률이란 무엇인가?
04 확률의 정체
05 또 하나의 확률
06 큰수의 법칙과 두 가지 확률
07 확률 개념 총정리
 
II 확률은 속기 쉽다
 
08 확률은 과거에 얽매이지 않는다
09 우연을 ‘지배’한다는 사람의 비밀
10 우연을 ‘예상’한다는 사람의 비밀
11 우연이 거듭 일어난다면?
 
III 뜻밖의 재미를 주는 확률 계산
 
12 확률 계산의 기본
13 확률끼리 계산하기
14 제비뽑기 순서와 확률의 비밀
15 ‘적어도’라는 조건을 붙이면 뜻밖의 결과가 나온다
 
IV 통계란 무엇인가?
 
16 확률과 통계의 관계는?
17 기댓값이란?
18 기댓값과 여러 가지 도박
19 분산·표준편차·표준점수의 정체