개념부터 다시 시작하는

허수와 복소수를 알면 수 체계가 잡힌다!

‘허수와 복소수’ 편은 실수의 상대 개념인 허수와, 그 허수와 실수를 모두 포함하는 복소수를 다룬다. 허수와 복소수의 개념을 알면 알수록 실수 개념이 명확해지고 수의 체계가 잡힌다. 실수는 자연적인 수, 허수는 인공적인 수라는 이분법을 걷어 내고 고찰하면, 수의 본질이 무엇이고 한 가지 수가 ‘수로서 인정’받기 위해 어떤 조건들을 갖춰야 하는지도 생각해 볼 수 있다. 이 책에서는 유리수와 무리수, 음수와 허수가 인정을 받는 과정을 살피면서 수의 체계에 대한 이해를 도모한다. 또 실수와 허수의 상위 체계인 복소수를 복소평면 위에 나타내거나 극형식으로 표현했을 때 수학적으로 어떤 놀라운 일이 벌어지는지 보여 준다.

개념부터 다시 시작하는 Reset! 리셋 수학 허수와 복소수의 주요 내용

- 실수는 진짜, 허수는 가짜?
실수는 실재하는 수이고 허수는 상상의 수인가? 이 책은 이러한 이분법 이전에 ‘수’라는 것 자체가 현실에 당연히 존재하는 것이라고 단정 지을 수 없음을 이야기한다. 자연수부터 0의 존재, 분수와 소수 등 오늘날 당연시되는 수의 종류들도 처음부터 자연스럽게 받아들여지지 못하고 우여곡절 끝에 가까스로 인정되었다는 것이다. 2장에서는 이처럼 허수에 비해 기반이 튼튼하다고 여겨지는 실수가 어떠한 지난한 과정을 거쳐 인정받게 되었는지를 살핀다. 이 과정에서 오늘날 초등학교에서 비슷한 시기에 배우게 되는 분수와 소수가 사실은 3500년 정도의 시차를 두고 각각 발견되었다는 사실, 자연수만을 수로 생각하고 떠받들던 피타고라스가 얄궂게도 자신의 피타고라스 정리에서 ‘무리수’를 발견하게 되자 그 사실을 비밀에 부쳐야 했던 일화 등을 들려준다.
 
- 음수와 허수의 눈물겨운 ‘인정 투쟁’
허수는 제곱해서 -1이 되는 수다. 정의 자체에 음수 개념을 포함하고 있으므로 음수가 먼저 인정받은 뒤에야 세상에 받아들여질 수 있었는데, 이 음수가 인정을 받기까지 오랜 세월이 걸렸다. 무엇보다 ‘기하학적 대수학’이 대세를 이루고 있던 시대에는 선분의 길이나 도형의 넓이 등이 ‘음수’라는 것이 수용되지 못했던 것이다. 그래서 중세에 이미 이차방정식의 근의 공식이 발견되었음에도 음수는 인정을 받지 못했다. 17세기 후반 라이프니츠와 뉴턴의 시대에 이르러서야 간신히 인정받았다.
음수의 사정이 이러하니, 허수는 더했다. 허수는 역사적으로 이차방정식과 삼차방정식의 일반해를 구하는 과정에서 매번 등장했지만 이내 다시 물밑으로 가라앉고 말았다. 그러다 18세기에 오일러가 을 처음으로 i로 나타내고, 19세기 초에 가우스가 허수와 실수를 모두 포함한 ‘복소수’로 파악하면서 마침내 허수의 존재가 인정되었다. 특히 가우스가 복소수를 ‘복소평면’에 나타내 허수를 시각화한 것은 사람들이 허수의 실재성을 깨닫는 데 결정적인 역할을 했다.
 
- 복소수의 신기한 특징들
III부에서는 가우스에 의해 수로서의 토대가 확립된 허수와 복소수의 참모습을 본격적으로 탐구한다. 특히 가우스가 고안한 복소평면 위의 움직임을 중심으로 허수와 복소수의 중요한 성질을 정리한다. 실수를 늘어놓은 수직선과, 복소수를 나타낸 복소평면을 비교함으로써 실수와 대비되는 복소수의 성질을 살펴본다. 예를 들어, 실수는 수직선상에 일직선으로 늘어놓을 수 있어 대소 관계가 있지만, 복소수는 복소평면 위에 흩어져 있어 크기를 비교할 수 없다. 또 원점에서 복소수를 나타내는 점을 이은 선분과 그 선분이 실수축과 이루는 각을 ‘편각’이라 하는데, 복소수의 곱은 각 복소수의 편각의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 살펴본다. 복소수를 이처럼 절댓값과 편각으로 나타내면 유용하게 활용할 수 있다. 드무아브르의 정리, 오일러의 공식 등이 대표적이다. III부의 7장에서는 복소수보다 한 차원 높은 수 체계, 즉 복소수를 포함한 수 체계가 가능한지 논해 보고, 복소수가 현재까지 발견된 ‘사칙 연산이 가능한’ 수 체계 중 최상위 체계임을 설명한다.
 
- 실수의 한계를 넘어서는 복소수의 마법
IV부에서는 수학과 물리학에서 복소수가 어떻게 응용되는지 다룬다. 물리학에서 다양한 현상을 연구할 때는 현상을 수식으로 기록하거나 서술하는 방법을 주로 쓰는데, 이때 쓰이는 수식의 하나로 미분방정식이 있다. IV부는 이처럼 복소수의 미분과 적분, 복소수를 변수로 하는 복소함수 등을 살핀다. 우선, 복소함수와 미분가능성을 다룬 9장에서는 실수를 변수로 하는 실함수의 미분에 대해 다루고, 실함수와 달리 복소함수는 편미분의 조건을 정한 ‘코시·리만의 방정식’이 성립하면 미분가능하다는 것을 보여 준다. 복소함수가 미분가능하면 등각성의 원리와 항등 정리 등 복소함수만의 두드러진 특징이 나타난다. 또 복소함수와 적분가능성을 다룬 10장에서는 코시의 적분 정리와 적분 공식, 특이점, 테일러급수 등 실함수의 적분이 아닌 복소적분에서만 가능한 성질들을 살펴본다. 이를 통해, 실수 범위에서는 구할 수 없었던 적분값이 복소수 범위에서는 쉽게 나오기도 하는 등 복소수의 은밀한 위력을 실감할 수 있다. 이처럼 복소수는 실수 범위에서는 불가능하거나 복잡하게 구해야 했던 일부 계산을 간단하게 ‘해치울’ 수 있으며, 사인이나 코사인 같은 물결 모양의 파형과 관계된 전기 회로 연구나 양자역학 등의 분야에서 활약하고 있다.

*이다새는 도서출판 부키의 어학 학습 브랜드로 ‘이제 다시 새롭게’ 배우는 기쁨이라는 뜻을 담고 있습니다. '개념부터 다시 시작하는 Reset 수학' 시리즈는 부키의 어학 학습 브랜드 이다새로 출간되고 있습니다.

<차례 >
 
추천사·허수, 인간의 상상속에만 존재하는 수(김준교)
머리말·허수에 대한 장벽을 허물 수 있기를……
 
I 실수는 진짜, 허수는 가짜?
01 허수는 정말 가짜 수일까?
02 실수도 알고 보면 별나다
 
II 허수는 이렇게 인정받았다
03 음수의 힘겨운 성장과 정착
04 허수, 수학의 높은 장벽을 뚫다
 
III 허수의 참모습
05 복소수와 복소평면
06 복소수의 곱셈과 회전
07 복소수를 넘어서는 수는 존재할까?
 
IV 이것이 허수의 힘이다
08 복소함수와 미분가능성
09 복소함수와 적분가능성
10 실제 세계와 허수

개념을 확실히 잡아 주는 친절한 수학책

수학은 암기 과목이 아니다. 그럼에도 공식을 외고 문제를 더 많이 푸는 기계적인 방식으로 수학 성적을 올리는 데 가르치는 쪽과 배우는 쪽 모두가 혈안이 되어 있다. 기본 개념이 정립되어 있지 않은 상태에서는 공식의 암기나 심화 문제 풀이에 한계가 있음은 누구나 알고 있다. 그러나 짧은 시간에 교과 과정과 수능 시험이 요구하는 수준의 진도를 나가야 한다는 부담감에 조급함이 앞서는 것이다.

수학 수업은 물론이고 각종 문제집과 학습서마저도 상위권 학생들에 맞춰 나오다 보니, 거기에서 뒤처지는 학생들은 결국에는 이른바 ‘수포자’(수학 포기자)의 길을 걷게 된다. ‘국포자’, ‘영포자’, ‘과포자’ 등의 비슷한 조어들에 비해 ‘수포자’가 더 널리 쓰이는 것은, 그만큼 난이도가 높고 한번 진도의 흐름을 놓치면 따라잡기가 도통 쉽지 않은 수학 과목의 특성이 반영되어 있다.

이처럼 학교나 학원의 수업 진도를 따라가기 버거운 학생들, 또 중학교 수학 과정을 마치고 고등학교의 심화된 수학을 준비하고 있는 예비 고등학생들에게는 수학의 기본 개념을 찬찬히, 그러면서도 확실히 다져 주는 ‘개념 중심의 수학책’이 필요하다. 『개념부터 다시 시작하는 Reset! 수학』 시리즈는 이러한 수학의 ‘개념’에 모든 것을 바쳤다.

“개념과 원리를 알려 준다”는 책들이 대부분 기존의 문제집에 개념과 원리 부분을 강화하는 수준인 데 비해, 이 시리즈는 말 그대로 ‘개념만’ 중점적으로 파고든다. 많은 문제를 풀게 함으로써 개념을 이해시키는 것이 아니라 ‘사고하는 방법’에 초점을 맞춰 이야기보따리를 풀어 놓는 것이다. 즉 ‘문제를 푸는’ 수학책이 아니라 ‘보고 읽으며 이해하는’ 수학책이라 할 수 있다.
간간이 문제가 등장하기는 해도 개념 이해를 돕기 위해 기초적인 수준에서 고안된 것일 뿐, 현재의 고등학생들이 수시로 치르는 시험 문제와 같은 난이도는 전혀 아니다. 이 시리즈의 저자 역시 책에 등장하는 수식 중에 혹시 이해하기 어려운 것이 있다면 고민하지 말고 훌쩍 넘기라고 충고한다. ‘연습 문제 풀이’ 같은 과정 없이 단순히 책을 읽는 것만으로도 ‘적어도 개념만큼은 확실히 잡았다’라는 결론을 내릴 수 있을 것이다. 이러한 의미에서 진정한 ‘수학 개념 책’이라 할 수 있다.