개념부터 다시 시작하는

지수와 로그를 알게 되면 세상이 다르게 보인다!
 
‘지수와 로그’ 편은 많은 이들에게 수학 단원의 하나로만 알려져 있는 지수와 로그가 실생활에서 어떻게 응용되는지 보여 줌으로써 지수와 로그 개념을 현실감 있게 이해하도록 유도한다. 세상은 곱셈의 원리, 지수의 원리에 따라 급격하게 움직이는 경향이 있지만, 사람들은 이를 덧셈의 원리에 따라 완만한 흐름으로 파악한다. 이로 인한 오해와 착각을 설명하면서 지수의 본질에 더욱 다가간다. 또 이렇게 덧셈에 더욱 친숙한 인간의 성향이야말로, 지수의 역인 로그의 기본 성질과 부합한다는 점을 살펴본다.
 

개념부터 다시 시작하는 Reset! 리셋 수학 지수와 로그의 주요 내용

- 세상은 지수적으로 변한다?
I부에서는 우리가 사는 세상이 곱셈을 바탕으로 이루어졌다는 것, 즉 ‘지수적’이라는 점을 다룬다. 일상에서는 경제가 전년 대비 ○% 성장했다든지, 연봉이나 물가가 ○% 올랐다든지 등등 이전에 비해 ‘몇 배’가 되었는지 백분율로 나타내는 경향이 강하다. 이는 곧 이전 수치나 값에 변동률을 곱해서 생각하는 것이다. 금리로 치자면 ‘복리’와 같다. 그런데 사람들은 이러한 ‘곱셈’의 원리를 ‘덧셈’으로 이해하려는 경향이 있다. 그래서 “경제가 5년 동안 연평균 8%씩 성장하는 것”을 1.085로 생각하지 않고 1+(0.08×5)로 생각하는 것이다. 이러한 경향에 따라, 곱셈적으로 움직이고 기하급수적으로 변하는 세상의 움직임을 덧셈적, 산술급수적으로 파악함으로써 현실을 직시하지 못하고 착각하는 결과를 낳고 만다. 대출 금리를 오해해 눈덩이처럼 불어난 이자에 허덕이는 경우가 대표적이다.
 
- 소수나 무리수도 지수가 될 수 있을까?
II부에서는 지수의 계산과 원리를 본격적으로 다룬다. 우선, 지수법칙 4가지를 설명하고 가장 기본적인 지수 계산을 해 본다. 다음으로, 지수가 자연수가 아닐 경우, 즉 0이거나 음수이거나, 분수나 소수, 또는 와 같은 무리수일 경우로 지수를 확장하면서 지수법칙을 이용해 각각의 경우를 생각해 본다. 결론은 실수의 범위에 있는 수라면 무엇이든 지수가 될 수 있다는 것이다.
 
- 1028미터 길이의 화면이면 우주를 담을 수 있다?
III부에서는 10의 n제곱, 2의 n제곱이 만들어 내는 놀라운 세상을 이야기한다. 7장 ‘10의 n제곱의 세계’에서는 지구에서 출발해 우주의 끝에 도달하는 우주여행을 간단히 따라가 본다. 그런데 이렇게 빛의 속도로 137억 년이 걸리는 거대한 우주도 10의 28제곱이면 간단히 뛰어넘을 수 있다는 이야기를 들려준다. 예를 들어, 지하철 좌석에 앉아 태블릿 PC로 전자책을 들여다보는 사람이 있는데, 이 전자책은 버튼을 누를 때마다 바로 앞 장면의 10배 되는 범위가 10분의 1로 축소되어 한 화면에 담기는 것이라 해 보자. 첫 번째 화면엔 고작 1m 범위만, 즉 맞은편에 앉은 사람의 상반신 정도만 담을 수 있다. 그런데 버튼을 누를수록 10배씩 더 큰 범위가 화면에 담기다 보면 고작 28번째에 현재까지 알려진 우주의 범위를 담을 수 있는 것이다. 지수는 이처럼 놀라운 마법을 부린다. 8장 ‘2의 n제곱의 세계’ 역시 마찬가지다. 두께가 0.1mm인 종이를 반으로 계속 접으면 놀랍게도 25번째에 백두산의 높이(2750m)를 넘어서게 된다.(225≒3355)
 
- 로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 편리한 도구다
IV부에서는 지수의 역인 로그를 소개하고 있다. 10장에서는 로그의 개념을 설명한다. 10을 곱해 가는 100, 101, 102, 103……의 수열에서 지수 부분만을 취하면 0, 1, 2, 3……과 같이 1씩 더하는 수열이 된다. 이처럼 ‘곱셈’을 ‘덧셈’으로 생각하는 편한 방식이 로그다. 로그를 사용하면 거듭제곱이 만들어 내는 어마어마한 숫자도 간단하게 표기할 수 있으므로 역사적으로 로그의 발견은 거대한 수치를 계산해 내야 하는 천문학자들의 환영을 받았다. 11장에서는 상용로그의 기본 공식을 통해 기본적인 로그 값들을 계산해 보고, 12장에서는 로그 눈금이 새겨진 계산자를 이용해 계산하는 방법을 살펴본다.
 
- 로그는 인간적인 표현법?
V부에서는 ‘인간의 감각은 로그에 충실하다’라는 내용을 다룬다. 카레 요리를 할 때 현재보다 매운맛을 더 내려면 딱 두 배만큼의 카레 가루를 추가로 넣는 것으로는 충분치 않다. ‘두 배 맵다’는 것을 느끼려면 2배가 아닌 4배 정도에 해당하는 양을 넣어야 한다. 마찬가지로 실내조명을 더욱 밝게 하려면 형광등 개수를 현재의 2배보다는 훨씬 많이 늘려야 ‘2배 밝아졌다’라는 느낌을 갖게 된다. 이처럼 인간은 실제로는 102배, 103배, 104배로 늘어나야 겨우 2배, 3배, 4배 늘어난 것으로 인식하는 경향이 있다. 즉 인간이 느끼는 감각의 양은 자극 양의 ‘로그’에 비례하는 것이다. 1등성 별은 6등성보다 6배 밝은 것이 아니라 100배 밝고, 120dB인 소리는 60dB보다 2배가 아닌 1000배 큰 소리이며, 규모 8인 지진은 6인 지진에 비해 에너지가 1000배 크다. 이처럼 별의 밝기, 음압, 지진의 크기, 평균율 음계의 진동수 계산 등에 로그가 쓰인다.

*이다새는 도서출판 부키의 어학 학습 브랜드로 ‘이제 다시 새롭게’ 배우는 기쁨이라는 뜻을 담고 있습니다. '개념부터 다시 시작하는 Reset 수학' 시리즈는 부키의 어학 학습 브랜드 이다새로 출간되고 있습니다.

<차례 >
 
추천사·지수와 로그, 자본주의 사회의 필수 지식(김준교)
머리말·알고 보면 우리 삶의 일부인 지수와 로그
 
I 세상은 지수로 이루어졌다
01 사람은 곱셈보다 덧셈을 좋아한다
02 연봉도 지수적으로 증가한다?
03 부풀리기와 혹 붙이기
04 지수적 세상은 필연적이다
 
II 지수의 원리
05 지수는 어떻게 계산할까?
06 지수는 이렇게 확장된다
 
III n제곱이 만들어 내는 놀라운 세상
07 10의 n제곱의 세계
08 2의 n제곱의 세계
09 수를 어떻게 나타낼까?
 
IV 사람에게는 로그가 필요하다
10 로그란 곱셉을 덧셈으로 바꾸는 도구
11 로그의 원리
12 로그 눈금과 계산자의 원리
 
V 로그는 인간적이다
13 인간의 감각은 로그에 충실하다
14 진화하는 지수와 로그

개념을 확실히 잡아 주는 친절한 수학책

수학은 암기 과목이 아니다. 그럼에도 공식을 외고 문제를 더 많이 푸는 기계적인 방식으로 수학 성적을 올리는 데 가르치는 쪽과 배우는 쪽 모두가 혈안이 되어 있다. 기본 개념이 정립되어 있지 않은 상태에서는 공식의 암기나 심화 문제 풀이에 한계가 있음은 누구나 알고 있다. 그러나 짧은 시간에 교과 과정과 수능 시험이 요구하는 수준의 진도를 나가야 한다는 부담감에 조급함이 앞서는 것이다.

수학 수업은 물론이고 각종 문제집과 학습서마저도 상위권 학생들에 맞춰 나오다 보니, 거기에서 뒤처지는 학생들은 결국에는 이른바 ‘수포자’(수학 포기자)의 길을 걷게 된다. ‘국포자’, ‘영포자’, ‘과포자’ 등의 비슷한 조어들에 비해 ‘수포자’가 더 널리 쓰이는 것은, 그만큼 난이도가 높고 한번 진도의 흐름을 놓치면 따라잡기가 도통 쉽지 않은 수학 과목의 특성이 반영되어 있다.

이처럼 학교나 학원의 수업 진도를 따라가기 버거운 학생들, 또 중학교 수학 과정을 마치고 고등학교의 심화된 수학을 준비하고 있는 예비 고등학생들에게는 수학의 기본 개념을 찬찬히, 그러면서도 확실히 다져 주는 ‘개념 중심의 수학책’이 필요하다. 『개념부터 다시 시작하는 Reset! 수학』 시리즈는 이러한 수학의 ‘개념’에 모든 것을 바쳤다.

“개념과 원리를 알려 준다”는 책들이 대부분 기존의 문제집에 개념과 원리 부분을 강화하는 수준인 데 비해, 이 시리즈는 말 그대로 ‘개념만’ 중점적으로 파고든다. 많은 문제를 풀게 함으로써 개념을 이해시키는 것이 아니라 ‘사고하는 방법’에 초점을 맞춰 이야기보따리를 풀어 놓는 것이다. 즉 ‘문제를 푸는’ 수학책이 아니라 ‘보고 읽으며 이해하는’ 수학책이라 할 수 있다.
간간이 문제가 등장하기는 해도 개념 이해를 돕기 위해 기초적인 수준에서 고안된 것일 뿐, 현재의 고등학생들이 수시로 치르는 시험 문제와 같은 난이도는 전혀 아니다. 이 시리즈의 저자 역시 책에 등장하는 수식 중에 혹시 이해하기 어려운 것이 있다면 고민하지 말고 훌쩍 넘기라고 충고한다. ‘연습 문제 풀이’ 같은 과정 없이 단순히 책을 읽는 것만으로도 ‘적어도 개념만큼은 확실히 잡았다’라는 결론을 내릴 수 있을 것이다. 이러한 의미에서 진정한 ‘수학 개념 책’이라 할 수 있다.